VII Seminario de Análisis Geométrico

Parte de la dificultad de la geometría de Lorentz estriba en fenómenos que no tienen análogo en la de Riemann. Citemos aquí las distintas condiciones de causalidad que puede presentar un espaciotiempo lorentziano (escalera causal) o la existencia de geodésicas luminosas. Una estrategia para analizar estos fenómenos consiste en transportarlos al "mundo riemanniano", para aplicarles las muchas herramientas de análisis geométrico conocidas en él.

Aquí, bajo la hipótesis de que nuestro espaciotiempo lorentziano es estacionario (admite un campo de Killing temporal), definiremos la llamada métrica de Fermat en su parte espacial. Esta es casi riemanniana: es un cierto tipo de métrica de Finsler. Tras un breve repaso de geometría de Finsler, estudiaremos: 1. Cómo se caracterizan distintos niveles de la escalera causal en términos de completitud de la métrica de Fermat; 2. La caracterización de las geodésicas luminosas, permitiendo el estudio de su existencia; y 3. Otros desarrollos recientes (si el tiempo lo permite).

Esta presentación estará basada principalmente en las siguientes referencias:

1. E. Caponio, M. Á. Javaloyes and M. Sánchez: The interplay between Lorentzian causality and Finsler metrics of Randers type. Rev. Mat. Iberoamericana 27:919-952, 2011.
2. E. Caponio, M. Á. Javaloyes and A. Masiello: On the energy functional on Finsler manifolds and applications to stationary spacetimes. Math. Ann. 351:365-392, 2011.

Usando un lenguaje clásico, haremos un breve repaso a la teoría de superficies de Riemann enfatizando la construcción de ejemplos. Aprovecharemos esas herramientas analíticas para hacer una introducción básica a la teoría global de superficies mínimas en \(\mathbb{R}^3\).

En este minicurso se discutirán las ecuaciones fundamentales que permiten recuperar una immersión isométrica en un grupo de Lie unimodular tridimensional, simplemente conexo y equipado con una métrica riemanniana o lorentziana invariante a izquierda. Asimismo, se obtendrán algunas consecuencias de a la teoría de superficies de curvatura media constante en tales espacios ambiente. Este es un trabajo conjunto con I. Castro y J. S. Santiago.

En esta charla introduciremos la noción de geometría de Cartan y mostraremos cómo la geometría conforme puede analizarse de forma natural desde este enfoque. A continuación, exploraremos la relación entre esta perspectiva y la teoría de subvariedades en geometría lorentziana. Finalmente, presentaremos otros tipos de geometrías que también pueden estudiarse eficazmente desde esta formulación generalizada.

Es bien sabido que toda superficie compacta admite una métrica de curvatura constante inducida a partir de su recubridor universal, lo cual da lugar a estructuras geométricas Euclídeas, esféricas e hiperbólicas en superficies.

Desde el punto de vista de acciones de grupos, lo anterior clasifica acciones isométricas libres (sin puntos fijos) y con dominio fundamental compacto, en las formas espaciales \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{S}^2\) y \(\mathbb{H}^2\). Si uno realiza un estudio análogo para acciones de grupos con puntos fijos, se encuentra con la clasificación geométrica de otros espacios: los orbifolds. Haremos una clasificación de los orbifolds en dimensión dos siguiendo estas líneas, y obtendremos como caso particular los 17 grupos cristalográficos de \(\mathbb{R}^2\) (orbifolds Euclídeos), y los grupos de simetrías de los sólidos platónicos (orbifolds esféricos). Para los orbifold hiperbólicos, estudiaremos algunos ejemplos y las teselaciones correspondientes.