Seminarios de Análisis Geométrico

En este mini-curso comenzaremos repasando el concepto de variedad de Kaehler. Estudiaremos después distintas nociones de simetría en variedades Riemannianas, y las trasladaremos a espacios de Kaehler, viendo cuáles de ellas tienen sentido y cuales no, y obteniendo caracterizaciones específicas para este tipo de espacios. Finalmente, aplicaremos lo visto al estudio de las simetrías de hipersuperficies complejas de espacios forma complejos.

Se pretende realizar una introducción a las subvariedades lagrangianas, fundamentalmente en los espacios complejos modelo, con especial énfasis en el caso de superficies, estudiando familias destacadas por su comportamiento frente a la segunda forma fundamental (esferas de Whitney) y el vector curvatura media (mínimas, estacionarias Hamiltonianas, con forma de Maslov conforme). Se intentará determinar las versiones lagrangianas de las nociones de umbilicidad y curvatura media constante.

En 1984 Wente probó que existen toros de curvatura media constante inmersos en el espacio euclídeo \(\mathbb{R}^3\), lo cual daba un contraejemplo a una importante conjetura clásica de Hopf. Algo más tarde, Abresch dio una construcción alternativa de toros CMC usando un método de separación de variables para la ecuación sinh-Gordon, basada en la propiedad geométrica de que la superficie tenga líneas de curvatura planas.

En esta charla explicaremos la construcción de dichos toros CMC, e indicaremos algunas ramificaciones actuales que este tipo de construcciones han tenido en otros problemas y teorías geométricas relacionadas.

En Relatividad General, el teorema de Birkhoff establece que la única solución con simetría esférica para las ecuaciones de Einstein en el vacío es la solución de Schwarzschild. En en este breve curso introducimos los conceptos geométricos necesarios como isometrías, foliaciones y las ecuaciones de Einstein. A continuación damos un enunciado preciso del teorema y proporcionamos una prueba rigurosa en contraste con las pruebas habituales que uno encuentra en los libros que tratan el tema. Finalmente, aportamos algunas consecuencias y generalizaciones del teorema.

Los valores propios del Laplaciano estan ligados de distintas maneras a la geometria de la superficie. En nuestra charla presentaremos estimaciones para el primer valor propio sobre superficies que dependen de la topologia de la superficie. El resultado inicial fue obtenido por Hersch en los 70 quien demostró que para cualquier metrica sobre la esfera \(\mathbb{S}^2\) con area igual a \(4\pi\) el primer valor propio es menor o igual que 2 y la igualdad se alcanza solo para la métrica de curvatura constante. Para las demás topologías se conocen algunos resultados de este tipo pero otros problemas siguen aún abiertos.

Las superficies espaciales en el espacio de Lorentz-Minkowski son aquellas para las que la métrica heredada del espacio ambiente es una métrica riemanniana. En este sentido su geometría comparte ciertas propiedades con las superficies en el espacio euclídeo, y se pueden usar herramientas similares para estudiar ambas familias de superficies. No obstante, existen diferencias fundamentales entre ambas.

Comenzaremos este minicurso exponiendo algunas similitudes y diferencias entre la geometría de ambas. En particular, a las superficies en el espacio euclídeo (o en general en cualquier variedad riemanniana) con curvatura media nula se les conoce como superficies minimales, puesto que localmente minimizan el área, mientras que las superficies espaciales en el espacio de Lorentz-Minkowski (y en cualquier variedad lorentziana) con curvatura media nula presentan un comportamiento variacional distinto, son maximizantes, por lo que se conocen como maximales. Plantearemos el problema de estudiar las superficies que son simultánemante minimales en el espacio euclídeo y maximales en el espacio de Lorentz-Minkowski, y en general aquellas para las que ambas curvaturas medias coinciden. Veremos como se puede estudiar la geometría de estas superficies usando herramientas geométricas clásicas de curvas y superficies.

En el espacio producto \(\mathbb H^2\times\mathbb R\) existe una noción de frontera asintótica, esta está compuesta por la frontera vertical \(\partial_\infty \mathbb H^2\times\mathbb R\equiv \mathbb S^2\times\mathbb R\) y las fronteras horizontales \(\mathbb H^2\times\{\pm\infty\}\). En este contexto el problema de Plateau asintótico consiste en, dada \(\gamma\) una curva en la frontera asintótica de \(\mathbb H^2\times\mathbb R\), decidir cuando hay una superficie mínima o área-minimizante en \(\mathbb H^2\times\mathbb R\) cuya frontera asintótica sea \(\gamma\).

En esta charla veremos las ideas principales de los resultados de existencia de [3] y [1] para curvas en la frontera asintótica vertical. Daremos un resultado general de no existencia para superficies mínimas en términos de la frontera asintótica probado en [2]. Comentaremos algunos resultados y problemas cuando la curva de la frontera asintótica tiene componentes en las fronteras asintóticas horizontales. Finalmente mencionaremos como extender estos resultados al espacio \(\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})\).

1. B. Coskunuzer. Minimal surfaces with arbitrary topology in \(\mathbb H^2\times\mathbb R\). Preprint disponible en arXiv:1404.0214 [math.DG].
2. R. Sa Earp, E. Toubiana. An asymptotic theorem for minimal surfaces and existence results for minimal graphs in \(\mathbb H^2\times\mathbb R\). Math. Ann., 342 (2008), no. 2, 309-331.
3. B. Nelli, H. Rosenberg. Minimal surfaces in \(\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}\). Bull. Braz. Math. Soc. 33 (2002), no. 2, 263-292.

Las superficies de Weingarten son aquellas para las que existe alguna relación entre sus dos curvaturas principales. Ejemplos destacados son las superficies mínimas, de curvatura media constante, o de curvatura de Gauss constante.

El estudio de las superficies de Weingarten se remonta a los trabajos de Hopf y Chern de mediados del siglo XX, aunque en la actualidad siguen quedando numerosos problemas interesantes por resolver. En este curso estudiaremos algunos resultados sobre estas superficies, haciendo hincapié en la familia de las superficies elípticas de Weingarten.

Existen multitud de condiciones geométricas naturales sobre superficies que se han estudiado clásicamente en teoría de superficies. En esta charla, comentaremos la clasificación de superficies de curvatura media constante en los espacios homogéneos tridimensionales con grupo de isometrías de dimensión 4 o 6 que caen en alguna de las siguientes clases distinguidas: (a) superficies totalmente geodésicas, (b) superficies totalmente umbilicales, (c) superficies con diferencial de Abresch-Rosenberg nula, (d) superficies homogéneas, (e) superficies con curvaturas principales constantes, (f) superficies isoparamétricas, (g) superficies con ángulo constante, (h) superficies con curvatura de Gauss constante e (i) superficies regladas por geodésicas.

1. B. Daniel, I. Domingos, F. Vitório. Constant mean curvature isometric immersions into \(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}\) and \(\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}\) and related results. Preprint disponible en arXiv:1911.12630.
2. M. Domínguez-Vázquez, J. M. Manzano. Isoparametric surfaces in \(\mathbb{E}(\kappa,\tau)\)-spaces. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci.(5) 22 (2021), no. 1, 269-285.
3. J. M. Espinar, H. Rosenberg. Complete constant mean curvature surfaces in homogeneous spaces. Comment. Math. Helv., 86 (2011), no. 3, 659-674.
4. Y. W. Kim, S. E. Koh, H. Y. Lee, H. Shin, S. D. Yang. Helicoidal killing fields, helicoids and ruled minimal surfaces in homogeneous three-manifolds. J. Korean Math. Soc. 55 (2018), no. 5, 1235-1255.
5. R. Souam, E. Toubiana. Totally umbilic surfaces in homogeneous 3-manifolds. Comment. Math. Helv. 84 (2009), no. 3, 473-704.

In this talk, we will give a Weierstrass type representation for translating solitons of the mean curvature flow and singular minimal surfaces in \(\mathbb{R}^{3}\). As application, we characterize the surfaces whose Gauss map has harmonic argument and solve a general Cauchy problem for this class of surfaces.

1. J.A. Gálvez, P. Mira. The Cauchy problem for the Liuville equation and Bryant surfaces. Advances in Mathematics, 195 (2005) 456-490.
2. H. Lee. The H-flow translating solitons in \(\mathbb{R}^{3}\) and \(\mathbb{R}^{4}\). Preprint disponible en arXiv:1204.0243.
3. M. Kokubu. A Weierstrass representation for minimal surfaces in hyperbolic space. Tôhoku Math. J. 49 (1997), 367-377.
4. A. Martínez, A.L. Martínez-Triviño. A Weiertrass type representation for translating solitons and singular minimal surfaces. Preprint disponible en arXiv:2201.01192.

Se probará que los planos son las únicas superficies mínimas, completas, estables y orientables del espacio Euclideo \(\mathbb{R}^3\). Se hará una introducción a las superficies mínimas de índice finito.

El objetivo de este minicurso es introducir a los alumnos en el uso de técnicas del análisis geométrico para el estudio de las propiedades globales de superficies minimales en el espacio euclídeo y de superficies maximales en el espacio de Lorentz-Minkowski, tomando como hilo conductor los correspondientes teoremas de Bernstein en tales espacios. El teorema clásico de Bernstein [1] establece que los planos son los únicos grafos enteros minimales en el espacio euclídeo \(\mathbb{R}^3\). En otras palabras, las únicas soluciones \(u(x,y)\) de la ecuación de los grafos minimales, dada por \[\mathrm{div}\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0\] que están globalmente definidas para todo valor \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) son las funciones afines, \(u(x, y) = ax + by + c\), \(a, b, c\in\mathbb{R}\). En la primera parte de este mincurso nos proponemos hacer accesible al nivel de los estudiantes una demostración geométrica de dicho resultado, dada por S.S. Chern en 1969 [3]. Por otra parte, una superficie maximal en el espacio de Lorentz-Minkowski \(\mathbb{L}^3\) es una superficie espacial con curvatura media cero. Por espacial se entiende que la métrica inducida sobre la superficie a partir de la métrica de Lorentz del ambiente es una métrica de Riemann. Uno de los resultados globales más importantes sobre superficies maximales es el teorema de Calabi-Bernstein para superficies maximales de \(\mathbb{L}^3\) [2] que, es su versión paramétrica, establece que las únicas superficies maximales completas en \(\mathbb{L}^3\) son los planos espaciales. Este resultado admite también una versión no-paramétrica, según la cual los únicos grafos enteros maximales en \(\mathbb{L}^3\) son los planos espaciales; es decir, las únicas soluciones enteras de la ecuación de las superficies maximales \[\mathrm{div}\left(\frac{Du}{\sqrt{1-|Du|^2}}\right)=0,\quad |Du|<1,\] en el plano euclídeo \(\mathbb{R}^2\) son las funciones afines. En la segunda parte de este minicurso nos centraremos en dar una demostración geométrica de este resultado, siguiendo las ideas de la demostración dada por A. Romero en 1996 [4].

1. S. Bernstein. Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Math. Z. 26 (1927), no. 1, 551–558.
2. E. Calabi. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations. 1970 Global Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XV, Berkeley, Calif., 1968) pp. 223–230 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.
3. S.S. Chern. Simple proofs of two theorems on minimal surfaces. Enseign. Math. (2) 15 (1969), 53–61.
4. A. Romero, Alfonso Simple proof of Calabi-Bernstein’s theorem on maximal surfaces. Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), no. 4, 1315–1317.

Conocer propiedades y estudiar las hipersuperficies de una variedad diferenciable es un tema clásico de investigación en geometría diferencial. En este minicurso demostraremos unas fórmulas conocidas en la literatura como fórmulas de Bochner-Lichnerowicz. Utilizaremos los resultados obtenidos para demostrar una fórmula de tipo integral conocida como fórmula de Reilly [3], la cual ha resultado muy útil en el estudio de hipersuperficies, véase por ejemplo [1, 2, 4]. Finalmente, demostraremos algunas aplicaciones de esta fórmula en el estudio de las propiedades de distintas hipersuperficies.

1. A. D. Aleksandrov. Uniqueness theorems for surfaces in the large. V. Vestnik Leningrad Univ. Math. 13 (1958), 5–8.
2. O. Garay. An application of Reilly’s formula. Bull. London Math. Soc. 21 (1989), 176–178.
3. R. C. Reilly. Applications of the Hessian operator in a Riemannian manifold. Indiana Univ. Math. J. 26 (1977), 459–472.
4. A. Ros. Compact hypersurfaces with constant scalar curvature and a congruence theorem. J. Differential Geometry 27 (1988), 215–220.

Las hipersuperficies isoparamétricas son un tipo particularmente rígido de hipersuperficies con curvatura media constante. Su estudio, motivado inicialmente por un sencillo problema de óptica geométrica, se remonta a principios del siglo XX. El problema de clasificación de estos objetos en las esferas redondas ya fue abordado por Elie Cartan en los años 30, y considerado por Yau como un importante problema abierto en Geometría. A pesar de avances recientes muy significativos, este problema ofrece aun a día de hoy interesantes interrogantes pendientes de responder. ¿Por qué las hipersuperficies isoparamétricas parecen tener una naturaleza algebraica (por ejemplo, como órbitas de acciones de grupos de Lie) a pesar de su definición y formulación más bien analítica? ¿Cuál es la razón última por la cual, en las esferas, estos objetos no puedan tener más de 6 curvaturas principales? ¿Basta con pedirle a una hipersuperficie con curvatura media constante que la suma de los cuadrados de sus curvaturas principales sea también constante para que la hipersuperficie acabe siendo isoparamétrica? En este minicurso ofreceremos una introducción a las hipersuperficies isoparamétricas, comentando ejemplos, explicando propiedades básicas y conceptos relacionados, así como discutiendo resultados de gran relevancia y algunos problemas abiertos.

En 1970, Lawson obtuvo una correspondencia isométrica entre superficies mínimas de la esfera \(\mathbb{S}^3\) y superficies de curvatura media 1 en el espacio euclídeo \(\mathbb{R}^3\). Esto dio lugar a una técnica conocida como construcción de Plateau conjugada, en la que, partiendo de la solución de un problema de Plateau en \(\mathbb{S}^3\) con borde un polígono geodésico, puede obtenerse una superficie completa de curvatura media 1 en \(\mathbb{R}^3\). Esta superficie se dice conjugada de la original y se obtiene aplicando la correspondencia de Lawson y extendiendo el resultado mediante simetrías respecto de los distintos planos en que las componentes de su frontera están contenidas. El objetivo de este seminario es explicar cómo se extiende esta construcción para obtener superficies de curvatura media constante en los espacios riemannianos producto \(\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}\) y \(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}\) y explicar cómo se lleva a cabo todo el proceso en un ejemplo representativo. En la primera parte, se introducirán los espacios homogéneos con grupo de isometrías de dimensión 4 y la llamada correspondencia de Daniel, que generaliza a la de Lawson. Se darán condiciones para resolver el problema de Plateau y para que la superficie conjugada con curvatura media constante en el espacio producto pueda ser completada analíticamente mediante reflexiones. Se analizarán algunos ejemplos explícitos y algunas clases de superficies preservadas por la correspondencia. En la segunda parte, se aplicará la técnica conjugada de Plateau para construir superficies de curvatura media constante en \(\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}\) y \(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}\) que heredan las simetrías de una teselación de \(\mathbb{H}^2\) y \(\mathbb{S}^2\), respectivamente. En particular, se construirán superficies con curvatura media constante $0\lt H\lt\frac{1}{2}$ compactas de género arbitrario en \(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}\). Si el tiempo lo permite, se mostrarán otros tipos de construcciones.

El estudio de las superficies mínimas es un tema clásico de investigación en la Geometría Diferencial. Basándose en el hecho de que una inmersión conforme es mínima si, y solo si, sus coordenadas son armónicas, Enneper y Weierstrass encontraron una representación analítica para superficies mínimas contenidas en un espacio euclídeo \(\mathbb{R}^n\) de dimensión \(n \geq 3\).

Recientemente, técnicas provenientes del Análisis Complejo, en concreto de las teorías de aproximación e interpolación para funciones holomorfas, se han utilizado para la construcción de superficies mínimas dando lugar a numerosos y variados resultados.

En este minicurso mostraremos la idea fundamental utilizada para asegurar que las superficies mínimas construidas sean completas. Empezando por la idea original introducida por Jorge y Xavier y cómo se ha adaptado ésta en resultados posteriores.

1. A. Alarcón, I. Fernández, F.J. López. Harmonic mappings and conformal minimal immersions of Riemann surfaces into \(\mathbb{R}^n\). Calc. Var. Partial Differential Equations 47 (2013), no. 1-2, 227-242.
2. A. Alarcón, I. Fernández. Complete minimal surfaces in \(\mathbb{R}^3\) with a prescribed coordinate function. Differential Geom. Appl. 29 (2011), s. 1, S9-S15.
3. I. Castro-Infantes, B. Chenoweth. Carleman approximation by conformal minimal immersions and directed holomorphic curves. J. Math. Anal. Appl. 484 (2020), no. 2, 123756.
4. L. Jorge, F. Xavier. A complete minimal surface in \(\mathbb{R}^3\) between two parallel planes. Ann. of Math. (2) 112 (1980), no. 1, 203-206.

Las superficies Weingarten son aquéllas en las que se verifica una cierta relación funcional entre sus curvaturas principales. Incluyen así, por ejemplo, familias tan interesantes como las superficies isoparamétricas, las superficies con curvatura media constante (en particular, las mínimas) o las superficies con curvatura de Gauss constante.

En este minicurso se pretende estudiar este tipo de superficies en el seno de las superficies rotacionales y helicoidales, tanto en el espacio euclídeo \(\mathbb{R}^3\) como en la 3-esfera \(\mathbb{S}^3\). La aportación fundamental y novedosa será poner de manifiesto el papel clave que juega en este contexto el momento lineal geométrico de la curva generatriz de la superficie rotacional o la curva perfil de la superficie helicoidal, a la hora de intentar una clasificación de las superficies Weingarten.

Como aplicación, se recuperarán bajo esta óptica resultados clásicos en esta línea, se obtendrán nuevos teoremas de unicidad de ejemplos sencillos y se abrirá el camino para el estudio de nuevas familias de superficies Weingarten.

1. I. Castro, I. Castro-Infantes. Plane curves with curvature depending on distance to a line. Diff. Geom. Appl. 44 (2016) 77–97.
2. J. Weingarten. Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flachen. J. Reine Angew. Math. 59 (1861), 382–393.

Este minicurso estará dividido en tres partes, que se completarán en tanto el tiempo lo permita. En la primera, se discutirán los espacios 3-dimensionales simplemente conexos cuyo grupo de isometrías tiene dimensión 4, tanto riemannianos como lorentzianos, y se establecerán algunas de sus propiedades fundamentales como espacios homogéneos y como submersiones de Killing. En la segunda parte, se estudiarán las ecuaciones fundamentales de las superficies de curvatura media constante en dichos espacios, y se introducirán las correspondencias de Daniel (isométrica) y de Calabi-Lee (conforme). En la última parte, se definirá la diferencial cuadrática de Abresch-Rosenberg, que es holomorfa para superficies de curvatura media constante, y la aplicación de Gauss, que es armónica para superficies de curvatura media crítica.

En este curso se estudiarán las superficies de curvatura media constante (CMC) desde el punto de vista del cálculo de variaciones. El primer objetivo será mostrar, usando la primera variación del área y el volumen, que las superficies CMC son puntos estacionarios del área para variaciones que preservan el volumen encerrado por la superficie. Definiremos entonces el concepto de estabilidad para CMC como la no negatividad de la segunda variación del área para variaciones que preservan el volumen. Presentaremos ejemplos de superficies estables y clasificaremos las superficies compactas estables en los espacios forma. Finalmente, mostraremos una técnica reciente para estudiar problemas de estabilidad basada en el uso de campos de vectores armónicos con aplicaciones a las superficies CMC en espacios homogéneos.

1. J.L. Barbosa, M. Do Carmo. Stability of hypersurfaces with constant mean curvature. Math. Z. 185 (1984), no. 3, 339–353.
2. J.L. Barbosa, M. Do Carmo, J. Eschenburg. Stability of hypersurfaces of constant mean curvature in Riemannian manifolds.Math. Z. 197 (1988), no. 1, 123–138.
3. I. Chavel. Eigenvalues in Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics. Academic Press 115. Inc., Orlando, FL, 1984.
4. I. Chavel. Riemannian geometry. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 98. Cambridge University Press, Cambridge, 2nd ed., 2006.
5. A. Ros. The isoperimetric problem. In Global theory of minimal surfaces, volume 2 of Clay Math. Proc., pages 175–209. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

Dada una variedad lorentziana \(M\) decimos que \(S\) es una hipersuperficie nula de \(M\) si es una subvariedad de codimensión uno de manera que la métrica inducida por la métrica lorentziana de \(M\) es degenerada. Las hipersuperficies nulas contienen una geometría muy interesante y además juegan un papel relevante en Relatividad General, donde aparecen como horizonte de sucesos de agujeros negros y como horizontes de Cauchy.

En este seminario estudiaremos el caso en el que una subvariedad espacial de codimensión dos, \(\Sigma\), de un espaciotiempo \(M\) está contenida en una hipersuperficie nula \(S\subset M\). Sabemos que entonces siempre existe una referencia normal a lo largo de \(\Sigma\), nula, globalmente definida y que apunta hacia el futuro. Construiremos esta referencia normal para un espaciotiempo \(M\) arbitrario y veremos que cuando consideramos los espaciotiempos de Lorentz-Minkowski o de Sitter, esto nos permite codificar las geometrías intrínseca y extrínseca de la subvariedad en términos de una única función definida sobre \(\Sigma\).

El estudio de las superficies mínimas es un tema clásico de investigación en la geometría diferencial. Basada en el hecho de que una inmersión conforme es mínima si, y solo si, sus coordenadas son armónicas, Enneper y Weierstrass encontraron una representación analítica para superficies mínimas contenidas en un espacio euclídeo \(\mathbb{R}^n\) de dimensión \(n\geq 3\).

Recientemente, técnicas provenientes del análisis complejo, en concreto de las teorías de aproximación e interpolación para funciones holomorfas, se han utilizado para la construcción de superficies mínimas dando lugar a numerosos y variados resultados.

En este seminario mostraremos las ideas fundamentales detrás de estas técnicas. Para ello estudiaremos algunos resultados de aproximación e interpolación para superficies mínimas que se encuentran en [3, 1]. Véase el survey [2] para una exposición detallada de la evolución de estas técnicas.

1. A. Alarcón, I. Castro-Infantes. Interpolation by conformal minimal surfaces and directed holomorphic curves. Anal. PDE 12 (2019), no. 2, 561–604.
2. A. Alarcón, F. Forstnerič. New complex analytic methods in the theory of minimal surfaces: A survey. J. Aust. Math. Soc. 106 (2019), no. 3, 287–341.
3. A. Alarcón, F. Forstnerič, F.J. López. Embedded minimal surfaces in \(\mathbb{R}^n\). Math. Z. 283, (2016), no. 1-2, 1–24.

El Teorema Fundamental de la Teoría Local de Curvas Planas establece que una curva está unívocamente determinada (salvo movimientos rígidos) por su curvatura \(\kappa\) como función de su longitud de arco. Sin embargo, en la mayoría de los casos, tales curvas son muy difíciles de encontrar explícitamente en la práctica, debido a la dificultad en resolver las integrales que aparecen en el proceso de integración. David A. Singer consideró en 1999 un tipo de problema distinto (cf. [5]): Determinar una curva plana si su curvatura viene dada como función de su posición.

Probablemente, el caso más interesante resuelto en este contexto sea el de las curvas elásticas de Euler, cuya curvatura es proporcional a una de las funciones coordenadas. Inspirados por la anterior cuestión y por las elásticas clásicas, abordaremos el estudio de las curvas planas cuya curvatura depende de la distancia a una recta (cf. [1]) y también aquéllas cuya curvatura depende de la distancia a un punto (cf. [2]). Aprovecharemos este estudio para obtener interesantes resultados relativos a superficies de revolución de tipo Weingarten, i.e. aquéllas en las que se tiene una cierta relación funcional entre sus curvaturas principales.

Se propone además estudiar los anteriores casos del problema de Singer en el contexto de curvas lorentzianas (cf. [3]) y esféricas (cf. [4]).

1. I. Castro and I. Castro-Infantes. Plane curves with curvature depending on distance to a line. Diff. Geom. Appl. 44 (2016), 77–97.
2. I. Castro, I. Castro-Infantes and J. Castro-Infantes. New plane curves with curvature depending on distance from the origin. Mediterr. J. Math. 14 (2017): 108.
3. I. Castro, I. Castro-Infantes and J. Castro-Infantes. Curves in Lorentz-Minkowski plane: elasticae, catenaries and grim-reapers. Open Math. 16 (2018), 747–766.
4. I. Castro, I. Castro-Infantes and J. Castro-Infantes. Spherical curves whose curvature depends on distance to a great circle. Preprint (2019).
5. D. A. Singer. Curves whose curvature depends on distance from the origin. Amer. Math. Monthly 106 (1999), 835–841.

La comprensión de las singularidades Tipo I del flujo de la curvatura media recae en cierto modo sobre una posible clasificación de las soluciones autocontráctiles. Puesto que no existen esferas lagrangianas autocontráctiles, el toro del Clifford es el ejemplo topológicamente más sencillo de superficie autocontráctil compacta lagrangiana en el plano euclídeo complejo.

En este seminario se obtendrán cuatro resultados de rigidez para el toro de Clifford en la clase de las soluciones autocontráctiles compactas para el flujo lagrangiano de la curvatura media ([1]). Además, se estudiará la evolución bajo el flujo de la curvatura media de superficies esféricas lagrangianas en \(\mathbb{C}^2\) y, más concretamente, de toros de Hopf que dividen en dos regiones de igual volumen a la esfera donde están contenidos ([2]).

1. I. Castro, A.M. Lerma. The Clifford torus as a self-shrinker for the Lagrangian mean curvature flow. Int. Math. Res. Not. 2014 (2014), 1515–1527.
2. I. Castro, A.M. Lerma, V. Miquel. Evolution by mean curvature flow of Lagrangian spherical surfaces in complex Euclidean plane. J. Math. Anal. Appl. 462 (2018), 637–647.

Diremos que un abierto \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\) con frontera regular es admisible si existe un grafo minimal en \(\mathbb{R}^3\) definido en \(\Omega\) con valores cero en la frontera \(\partial\Omega\) y no identicamente nulo. La geometría de los dominios admisibles e incluso su propia existencia es un tema que ha generado investigación durante las últimas décadas con contribuciones desde el punto de vista de la teoría de superficies mínimas y desde el del análisis de EDPs. Aquí nos centraremos en un problema planteado por Meeks en 2005, quien conjeturó que el número máximo de componentes conexas de un dominio admisible es a lo sumo 2 y que, si adicionalmente suponemos que el grafo tiene crecimiento sublineal, entonces todo dominio admisible es conexo. Un ejemplo no conexo es la unión de dos semiplanos de \(\mathbb{R}^3\) que se proyectan sobre dos semiplanos disjuntos de \(\mathbb{R}^2\) y un ejemplo conexo con crecimiento sublineal es el exterior de un disco, sobre el que se proyecta un trozo de catenoide de revolución.

En este seminario repasaremos el estado del arte de este problema mostrando que podemos acotar superiormente el número de componentes conexas por 3 en el caso general (Tkachev, 2004) y por 2 en el caso sublineal (Spruck, 2002), (Weitsman, 2004), aunque determinar si estas cotas son óptimas es un problema que sigue abierto.

1. J. Spruck. Two-Dimensional Minimal Graphs over Unbounded Domains. J. Inst. Math. Jussieu 1 (2002), 631-640.
2. V.G. Tkachev. Disjoint minimal graphs. Ann. Glob. Anal. Geom. 35 (2009), no. 2, 139–155
3. A. Weitsman. On the Growth of Minimal Graphs. Indiana Univ. Math. J. 54 (2005), no. 2, 617-625.