VIII Seminario de Análisis Geométrico

Dado \(n\geq 2,\) demostramos la existencia de una familia real analítica 1-paramétrica \(\{\mathbb{A}_n(a) : a \in (0,1]\}\) de anillos mínimos, no rotacionales, embebidos y capilares en la bola unidad euclídea. Esta familia puede interpretarse como una interpolación entre un catenoide capilar y una configuración singular de \(n\) discos capilares, dando respuesta afirmativa a una conjetura propuesta por Fernández, Hauswirth y Mira.

También probaremos la existencia de un conjunto numerable de anillos mínimos, no rotacionales, inmersos y de borde libre en la bola unidad. Estos ejemplos forman parte de una familia global de inmersiones mínimas de borde libre que interpolan entre el catenoide crítico y una configuración singular de discos.

Estos resultados han sido obtenidos en colaboración con I. Fernández y P. Mira.

Los espacios homogéneos ocupan un lugar central en geometría porque proporcionan modelos de referencia para una gran variedad de situaciones geométricas. Muchas variedades pueden entenderse, al menos localmente o en determinados aspectos, en relación con espacios dotados de un alto grado de simetría. Entre los ejemplos más familiares de espacios homogéneos aparecen el espacio euclídeo, las esferas, los espacios hiperbólicos, los espacios proyectivos, las variedades de Grassmann y la familia de los espacios simétricos. Sus descripciones como cocientes de grupos de Lie \(G/H\) permiten explotar la simetría para trasladar buena parte de los problemas geométricos al lenguaje de las álgebras de Lie y de sus representaciones. De este modo, información global sobre la variedad puede codificarse en datos algebraicos en un único espacio tangente.

En este curso veremos cómo, para un espacio homogéneo reductivo \(G/H\), una descomposición \(\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}\) permite identificar cada espacio tangente con el \(H\)-módulo \(\mathfrak{m}\). A partir de aquí, la construcción y clasificación de objetos geométricos invariantes —métricas, formas diferenciales, estructuras adicionales o conexiones afines— se traduce en el estudio de aplicaciones y tensores \(H\)-equivariantes sobre \(\mathfrak{m}\). La teoría de representaciones proporciona entonces un lenguaje eficaz para determinar qué estructuras pueden existir y de cuántos parámetros dependen.

A través de ejemplos concretos, principalmente esferas consideradas bajo distintas acciones transitivas, veremos cómo esta traducción algebraica puede hacerse de manera efectiva. Introduciremos para ello algunos cálculos sencillos de teoría de representaciones, sin presuponer conocimientos previos especializados, y los utilizaremos para determinar y clasificar estructuras geométricas invariantes. Veremos así cómo preguntas de naturaleza diferencial pueden reducirse a problemas algebraicos manejables y, en la dirección inversa, cómo la aparición de ciertos homomorfismos de módulos puede revelar la existencia de tensores y estructuras geométricas que no eran evidentes a priori.

En este minicurso examinaremos las ecuaciones de Frenet-Serret desde el punto de vista del movimiento en el grupo de rotaciones \(\mathrm{SO}(3)\), y utilizaremos el método de Wei-Norman en \(\mathrm{SO}(3)\) con parametrizationes en términos de ángulos de Euler o de Cardano para analizar las soluciones. Estas parametrizaciones son locales y en los elementos de \(\mathrm{SO}(3)\) no "alcanzables" por ellas se produce el denominado bloqueo del giróscopo, que tiene su origen en la imposibilidad de construir un homeomorfismo entre \(\mathbb{T}^3\) y \(\mathrm{SO}(3)\) (que coincide con \(\mathbb{R}\mathrm{P}^3\)).

El curso se dividirá de la siguiente forma:

• Sistemas de EDOs lineales.
• El método de factorización de Wei-Norman aplicado a sistemas de EDO lineales. Teoremas Local y Global.
• Las ecuaciones de Ferret-Serret para curvas parametrizadas por la longitud de arco.
• Las ecuaciones de Ferret-Serret como ecuaciones en \(\mathrm{SO}(3)\).
• Parametrizaciones de \(\mathrm{SO}(3)\): Ángulos de Euler y de Cardano. Giróscopo de 3 ejes.
• El método de Wei-Norman aplicado a las ecuaciones de Ferret-Serret.
• Implicaciones del Teorema Local: Bloqueo del giróscopo.

Este curso ofrece una introducción a dos tipos de resultados en geometría riemanniana: teoremas de comparación y teoremas de finitud. Los primeros examinan cómo condiciones sobre la curvatura (seccional, de Ricci, escalar) restringen la variedad. Los segundos estudian cómo cotas en invariantes métricos restringen el número de variedades (salvo homeomorfismo/difeomorfismo) que pueden admitirlas. Aunque hay numerosos ejemplos de resultados en los dos grupos, hablaremos de algunos de los que nos parecen más representativos, aprovechando por el camino, para introducir algunas de las herramientas más usadas en geometría de espacios métricos.

En esta charla haré un breve repaso sobre el problema del embebimiento en variedades de contacto complejas y daré la idea principal de cómo construir curvas holomorfas Legendrianas en el grupo especial lineal \(\rm{SL}(2, \mathbb{C})\) con la propiedad de ser embebidas tras proyectar al cociente \(\rm{SL}(2, \mathbb{C}) / \rm{U}_1,\) donde \(\rm{U}_1\) es el grupo unitario. Como aplicación construiré curvas Legendrianas en el fibrado tangente unitario del espacio hiperbólico, una variedad de contacto real de dimensión \(5,\) con estructura compleja arbitraria.

Haremos una introducción a la teoría clásica de superficies de Riemann, enfatizando el papel fundamental de este lenguaje en el desarrollo moderno de la teoría de superficies mínimas en el espacio euclídeo tridimensional.

Dada una variedad Riemanniana \((M,g)\) y un cierto \(\lambda \geq 0,\) decimos que \(u \in \mathcal{C}^2 (M)\) es una función \(\lambda\)-armónica si satisface la ecuación \(\Delta u + \lambda u =0\) en \(M\). Dado \(\Omega \subset M\), diremos que \(\Omega\) es un dominio \(\lambda\)-armónico si existe una función \(\lambda\)-armónica y acotada en \(\Omega\) que se anule sobre \(\partial \Omega\).

Es un hecho conocido que propiedades sobre la existencia y unicidad de funciones \(\lambda\)-armónicas sobre una variedad Riemanniana reflejan propiedades geométricas de la misma, tales como una cierta acotación en la curvatura o en los finales de la variedad. En esta charla nos centraremos en la topología de los dominios \(\lambda\)-armónicos \(\Omega \subset M\) cuando \(M\) es una variedad de Hadamard, esto es, simplemente conexa y con curvatura seccional \(K \leq 0\). En particular, veremos que cuando \(-k_1 \leq K \leq -k_2 <0\), la existencia de este tipo de dominios depende esencialmente de \(\lambda\) y de la dimensión de su frontera en el infinito.

Esta charla está basada en un trabajo conjunto con José M. Espinar y Marcos P. Cavalcante.

The Gauss map of a minimal surface is one of the key notions in the theory of minimal surfaces in Euclidean spaces, and it is well-known that every natural candidate is the Gauss map of some minimal surface. In the classical global theory, the value distribution properties of the Gauss map of complete minimal surfaces are addressed in results by Fujimoto and Ru, and more recently, it was proven that every open Riemann surface admits a complete conformal minimal immersion in \(\mathbb{R}^3\) whose complex Gauss map omits two values of \(\mathbb{CP}^1.\) We present how this extends to complete minimal surfaces with a discrete set of ends of finite total curvature.