ResumenAbstract

En este artículo trabajamos sobre una submersión de Killing arbitraria, esto es, una submersión riemanniana \(\pi:\mathbb{E}\to M\) de una 3-variedad \(\mathbb{E}\) sobre una superficie \(M\), ambas conexas y orientables, cuyas fibras son las curvas integrales de un campo de Killing en $\mathbb{E}$ sin ceros, no necesariamente unitario. Resolvemos el problema de Jenkins-Serrin para la ecuación de los grafos mínimos en \(\mathbb{E}\) sobre un dominio abierto y relativamente compacto \(\Omega\subset M\) prescribiendo valores finitos (continuos) o infinitos en las componentes de la frontera \(\partial\Omega\). Nuestra única hipótesis es que el mismo valor \(+\infty\) o \(-\infty\) no puede ser asignado a dos componentes adyacentes de \(\partial\Omega\) que formen un ángulo convexo. El dominio \(\Omega\) puede tener esquinas cóncavas y contener curvas cerradas en su frontera, así como tratarse de un dominio no embebido. Demostramos que la solución existe si, y sólo si, se satisfacen unas condiciones generalizadas de tipo Jenkins-Serrin en términos de una métrica conforme en \(M\). Para ello, estudiamos la convergencia de sucesiones de grafos mínimos obteniendo resultados novedosos en la teoría de líneas de divergencia. Damos, asimismo, principios del máximo que garantizan la unicidad de solución. Finalmente, obtenemos nuevos ejemplos de superficies mínimas en \(\mathbb{R}^3\) y en otras 3-variedades homogéneas.

We consider a Riemannian submersion from a 3-manifold \(\mathbb{E}\) to a surface \(M\), both connected and orientable, whose fibers are the integral curves of a Killing vector field without zeros, not necessarily unitary. We solve the Jenkins-Serrin problem for the minimal surface equation in \(\mathbb{E}\) over a relatively compact open domain \(\Omega\subset M\) with prescribed finite or infinite values on some arcs of the boundary under the only assumption that the same value \(+\infty\) or \(-\infty\) cannot be prescribed on two adjacent components of \(\partial\Omega\) forming a convex angle. The domain $\Omega$ can have reentrant corners as well as closed curves in its boundary. We show that the solution exists if and only if some generalized Jenkins-Serrin conditions (in terms of a conformal metric in \(M\)) are fulfilled. We develop further the theory of divergence lines to study the convergence of a sequence of minimal graphs. We also provide maximum principles that guarantee the uniqueness of the solution. Finally, we obtain new examples of minimal surfaces in \(\mathbb{R}^3\) and in other homogeneous 3-manifolds.

ResumenAbstract

Desarrollamos una dualidad conforme para grafos espaciales en 3-variedades riemannianas y lorentzianas que admiten una sumersión riemaniana sobre una superficie riemanniana cuyas fibras son las curvas integrales de un campo de Killing, el cual se asume que es temporal en el caso lorentziano. La dualidad mantiene la superficie base, intercambia la curvatura media y la curvatura del fibrado, y transforma la longitud del campo de Killing en su inversa multiplicativa. En este trabajo obtenemos dos consecuencias de este resultado. La primera es que encontramos grafos enteros en el espacio de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^3$ con curvatura media prescrita dada por una función $H\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^2)$ acotada y de gradiente acotado. La segunda consecuencia es que obtenemos condiciones para la existencia y no existencia de grafos enteros relacionada con una noción de curvatura media crítica en el contexto de submersiones de Killing.

We develop a conformal duality for spacelike graphs in Riemannian and Lorentzian three-manifolds that admit a Riemannian submersion over a Riemannian surface whose fibers are the integral curves of a Killing vector field, which is timelike in the Lorentzian case. The duality swaps mean curvature and bundle curvature and sends the length of the Killing vector field to its reciprocal while keeping invariant the base surface. We obtain two consequences of this result. On the one hand, we find entire graphs in Lorentz--Minkowski space $\mathbb{L}^3$ with prescribed mean curvature a bounded function $H\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^2)$ with bounded gradient. On the other hand, we obtain conditions for existence and non existence of entire graphs which are related to a notion of critical mean curvature in the context of Killing submersions.

ResumenAbstract

En este artículo, consideramos superficies de curvatura media constante que son invariantes por un grupo $1$-paramétrico de isometrías y están a distancia acotada de una geodésica horizontal en cualquier $3$-variedad homogénea $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ con grupo de isometrías de dimensión $4$. Estas superficies se conocen como tubos horizontales alrededor de dicha geodésica. Mostramos que la familia de tubos folian $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ menos una o dos geodésicas si y sólo si, $(1-x_0^2)\kappa+4\tau^2\leq 0$, siendo $x_0\approx 0.833557$. En esta foliación, la curvatura media cambia de hoja a hoja, recorriendo todos los valores supercríticos. Como consecuencia, demostramos que en $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ no hay superficies propiamente inmersas con curvatura media crítica o subcrítica a distancia acotada de una geodésica horizontal. En una segunda parte del artículo, damos una descripción precisa de cómo las geodésicas horizontales y verticales en una superficie mínima se deforman por la acción de la familia asociada (en el sentido de Daniel). Esto nos permite concluir que la familia de tubos horizontales se preserva por esta correspondencia para todos los valores del ángulo fase. Los tubos son topológicamente toros en $\mathbb{S}^2(\kappa)\times\mathbb{R}$ y en las esferas de Berger, en cuyo caso calculamos su tipo conforme y analizamos numéricamente sus perfiles isoperimétricos.

We consider constant mean curvature surfaces (invariant by a continuous group of isometries) lying at bounded distance from a horizontal geodesic on any homogeneous $3$-manifold $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ with isometry group of dimension $4$. These surfaces are called horizontal tubes. We show that they foliate $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ minus one or two horizontal geodesics if and only if $(1-x_0^2)\kappa+4\tau^2\leq 0$, where $x_0\approx 0.833557$. We also describe precisely how horizontal and vertical geodesics get deformed by Daniel's sister correspondence and conclude that the family of horizontal tubes is preserved by the correspondence. These tubes are topologically tori in Berger spheres, in which case we compute their conformal type and analyze numerically their isoperimetric profiles.

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Para cada $k\geq 3$, construimos una familia $1$-paramétrica de superficies minimales completas y Alexandrov-embebidas en el espacio producto $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, que tienen género $1$ y $k$ finales embebidos y asintóticos a planos verticales. También obtenemos superficies completas con género $1$ y $2k$ finales en el cociente de $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ por una traslación vertical arbitraria. Todas estas superficies tienen simetría diédrica con respecto a $k$ planos verticales, así como curvatura total finita e igual a $-4k\pi$. Asimismo, damos ejemplos de superficies completas y propiamente embebidas con un número infinito de finales, cada uno de los cuales es asintótico a un plano vertical y tiene curvatura total finita.

For each $k\geq 3$, we construct a 1-parameter family of complete Alexandrov-embedded minimal surfaces in the Riemannian product space $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ with genus $1$ and $k$ embedded ends asymptotic to vertical planes. We also obtain complete minimal surfaces with genus $1$ and $2k$ ends in the quotient of $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ by an arbitrary vertical translation. They all have dihedral symmetry with respect to $k$ vertical planes, as well as finite total curvature $-4k\pi$. Finally, we provide examples of complete properly embedded minimal surfaces with infinitely many ends, each of them asymptotic to a vertical plane and with finite total curvature.

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Obtenemos una familia uniparamétrica de superficies de Delaunay horizontales con curvatura media constante positiva en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, siendo la curvatura media mayor que $\frac{1}{2}$ en este último caso. Estas superficies no son invariantes por un grupo continuo de isometrías, sino simplemente periódicas, están a distancia acotada de una geodésica horizontal y, además, completan la familia de unduloides horizontales construida anteriormente por los autores. La geometría de toda la familia se estudia en detalle, mostrando que los unduloides horizontales están propiamente embebidos en $\mathbb H^2\times\mathbb{R}$. También encontramos (entre los unduloides) familias de toros embebidos en $\mathbb S^2\times\mathbb{R}$, que deforman continuamente una ristra de esferas tangentes a lo largo de un ecuador en un cilindro horizontal invariante por traslaciones a lo largo de ese ecuador. En particular, encontramos los primeros ejemplos de toros con curvatura media constante embebidos en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, cuya curvatura media resulta ser mayor que $\frac{1}{2}$. Finalmente, demostramos que no hay superficies propiamente inmersas con curvatura media constante $H\leq\frac{1}{2}$ a distancia acotada de una geodésica horizontal en $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$.

We obtain a $1$-parameter family of horizontal Delaunay surfaces with positive constant mean curvature in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, being the mean curvature larger than $\frac{1}{2}$ in the latter case. These surfaces are not equivariant but singly periodic, lie at bounded distance from a horizontal geodesic, and complete the family of horizontal unduloids previously given by the authors. We study in detail the geometry of the whole family and show that horizontal unduloids are properly embedded in $\mathbb H^2\times\mathbb{R}$. We also find (among unduloids) families of embedded constant mean curvature tori in $\mathbb S^2\times\mathbb{R}$ which are continuous deformations from a stack of tangent spheres to a horizontal invariant cylinder. In particular, we find the first non-equivariant examples of embedded tori in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, which have constant mean curvature $H>\frac12$. Finally, we prove that there are no properly immersed surface with constant mean curvature $H\leq\frac{1}{2}$ at bounded distance from a horizontal geodesic in $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$.

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We show the existence of a $2$-parameter family of properly Alexandrov-embedded surfaces with constant mean curvature $0\lt H\leq\frac{1}{2}$ in $\mathbb H^2\times\mathbb{R}$. They are symmetric with respect to a horizontal slice and $k$ vertical planes disposed symmetrically, and extend the so called minimal saddle towers and $k$-noids. We show that the orientation plays a fundamental role when the mean curvature is positive via the sister conjugate minimal surface from $\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})$ or $\mathrm{Nil}_3$. We also discover new complete examples that we call $(H,k)$-nodoids, whose $k$ ends are asymptotic to vertical cylinders from the convex side, often giving rise to non-embedded examples. In the discussion of embeddedness, we prove that the Krust property does not hold for any $H>0$, i.e., there are minimal graphs over convex domains in $\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})$, $\mathrm{Nil}_3$ or the Berger spheres, whose sister conjugate surfaces with constant mean curvature $H$ in $\mathbb H^2\times\mathbb{R}$ are not graphs.

Mostramos la existencia de una familia 2-paramétrica de superficies propiamente Alexandrov-embebidas con curvatura media constante $0\lt H\leq\frac{1}{2}$ en $\mathbb H^2\times\mathbb{R}$. Dichas superficies son simétricas con respecto a un plano horizontal y a $k$ planos verticales colocados equiangularmente con una geodésica vertical en su interesección. Esta familia extiende a los saddle towers y $k$-noides minimales construidos por Morabito y Rodríguez. En este artículo mostramos que la orientación juega un papel fundamental cuando la curvatura media es positiva a través de las superficies mínimas conjugadas en $\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})$ o $\mathrm{Nil}_3$. También descubrimos nuevos ejemplos completos que hemos bautizado como $(H,k)$-nodoides y cuyos $k$ finales son asintóticos a cilindros verticales desde el lado convexo de estos, produciendo en algunos casos ejemplos no embebidos. En la discusión sobre el embebimiento, probamos que la propiedad de Krust (probada para $H=0$ por Hauswirth, Sa Earp y Toubiana) no es cierta para ningún valor $H\gt 0$, es decir, existen grafos minimales sobre dominios convexos de $\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})$, $\mathrm{Nil}_3$ o de las esferas de Berger, cuyas superfies conjugadas en $\mathbb H^2\times\mathbb{R}$ con curvatura media constante $H$ no son grafos.

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En este artículo obtenemos una clasificación explícita de las siguientes cuatro familias de superficies en cualquier 3-variedad homogénea con grupo de isometrías de dimensión 4: superficies isoparamétricas, superficies con curvaturas principales constantes, superficies homogéneas y superficies con curvatura media constante y diferencial de Abresch-Rosenberg nula.

We provide an explicit classification of the following four families of surfaces in any homogeneous 3-manifold with 4-dimensional isometry group: isoparametric surfaces, surfaces with constant principal curvatures, homogeneous surfaces, and surfaces with constant mean curvature and vanishing Abresch-Rosenberg differential.

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En este artículo obtenemos superficies compactas y orientables con curvatura media constante $0\lt H\lt 1/2$ y género arbitrario embebidas en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$. Estas superficies son bigrafos con simetría diedral sobre un dominio de $\mathbb{S}^2$ cuyo complemento consiste en un número finito de discos convexos y, además, desingularizan un par de esferas de curvatura media $1/2$ tangentes a lo largo de un ecuador. Esta construcción es un caso particular de una construcción conjugada para superficies doblemente periódicas con curvatura media constante en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^3$, que tienen altura acotada y son invariantes por el grupo de simetrias de ciertas teselaciones de $\mathbb{S}^2$, $\mathbb{H}^2$ y $\mathbb{R}^2$ por polígonos regulares.

We obtain compact orientable embedded surfaces with constant mean curvature $0\lt H\lt\frac{1}{2}$ and arbitrary genus in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$. These surfaces have dihedral symmetry and desingularize a pair of spheres with mean curvature $\frac{1}{2}$ tangent along an equator. This is a particular case of a conjugate Plateau construction of doubly periodic surfaces with constant mean curvature in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, and $\mathbb{R}^3$ with bounded height and enjoying the symmetries of certain tessellations of $\mathbb{S}^2$, $\mathbb{H}^2$, and $\mathbb{R}^2$ by regular polygons.

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Extendemos la correspondencia clásica de Calabi (entre grafos minimales en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ y grafos maximales en el espacio de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^3$) a una vasta clase de 3-variedades que tienen un campo de Killing unitario. Concretamente, construimos una correspondencia entre grafos con curvatura media prescrita $H$ en los espacios generalizados de Bianchi-Cartan-Vranceanu (GBCV) $\mathbb{E}(M,\tau)$ y grafos espaciales con curvatura media prescrita $\tau$ en el espaciotiempo GBCV $\mathbb{L}^3(M,H)$. Por ejemplo, la ecuación de curvatura media prescrita en $\mathbb{L}^3$ puede transformarse en la ecuación de las superficies minimales en un espacio de Heisenberg generalizado con curvatura del fibrado prescrita. Asimismo, presentamos aplicaciones de la correspondencia al estudio del espacio de superficies completas espaciales en los espaciotiempos GBCV.

Extending Calabi's correspondence between minimal graphs in the Euclidean space $\mathbb{R}^3$ and maximal graphs in the Lorentz-Minkowski spacetime $\mathbb{L}^3$ to a wide class of 3-manifolds carrying a unit Killing vector field, we construct a twin correspondence between graphs with prescribed mean curvature $H$ in the Riemannian Generalized Bianchi-Cartan-Vranceanu (GBCV) space $\mathbb{E}^3(M,\tau)$ and spacelike graphs with prescribed mean curvature $\tau$ in the GBCV spacetime $\mathbb{L}^{3}(M, H)$. For instance, the prescribed mean curvature equation in $\mathbb{L}^3$ can be transformed into the minimal surface equation in the generalized Heisenberg space with prescribed bundle curvature. We present several applications of the twin correspondence and study the moduli space of complete spacelike surfaces in the GBCV spacetimes.

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En este artículo definimos diferenciales cuadráticas holomorfas para superficies espaciales con curvatura media constante en espacios homogéneos lorentzianos $\mathbb{L}(\kappa,H)$ con grupo de isometrías de dimensión 4, que son duales de las diferenciales de Abresch-Rosenberg en sus homólogos riemannianos $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$, y obtenemos algunas consecuencias. Por un lado, damos una clasificación explícita de todas las superficies en $\mathbb{L}(\kappa,H)$ con diferencial nula y, por otro lado, probamos que los grafos minimales enteros del espacio de Heisenberg tienen curvatura de Gauss negativa.

We define holomorphic quadratic differentials for spacelike surfaces with constant mean curvature in the Lorentzian homogeneous spaces $\mathbb{L}(\kappa,H)$ with isometry group of dimension 4, which are dual to the Abresch-Rosenberg differentials in the Riemannian counterparts $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$, and obtain some consequences. On the one hand, we classify explicitly those surfaces in $\mathbb{L}(\kappa,\tau)$ with zero differential. On the other hand, we prove that entire minimal graphs in Heisenberg space have negative Gauss curvature.

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We obtain area growth estimates for constant mean curvature graphs in $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$-spaces with $\kappa\leq 0$, by finding sharp upper bounds for the volume of geodesic balls in $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$. We focus on complete graphs and graphs with zero boundary values. For instance, we prove that entire graphs in $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ with critical mean curvature have at most cubic intrinsic area growth, or minimal graphs in $\mathbb{R}^3$ with zero boundary values over an arbitrary domain have at most quadratic area growth. We also obtain relations between height and area growth of minimal graphs in the Heisenberg space ($\kappa=0$), and prove a Collin-Krust type estimate for such minimal graphs.

Obtenemos estimaciones del crecimiento de área para grafos de curvatura media constante en espacios $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ con $\kappa\leq 0$ mediante cotas óptimas del crecimiento de volumen de las bolas geodésicas de $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$. Nos centramos en grafos completos y en grafos con valores cero en la frontera. Por ejemplo, probamos que lo grafos enteros en $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ con curvatura media crítica tienen a lo sumo crecimiento de área extrínseco cúbico, o bien que los grafos minimales en $\mathbb{R}^3$ sobre dominios arbitrarios con valores cero en la frontera tienen crecimiénto de área (extrínseco o intrínseco) a lo sumo cuadrático. También obtenemos relaciones entre el crecimiento de área y el crecimiento de altura de grafos minimales en el grupo de Heisenberg ($\kappa=0$) y probamos una estimación del tipo Collin-Krust para tales grafos minimales enteros.

ResumenAbstract

A Killing submersion is a Riemannian submersion from a 3-manifold to a surface, both connected and orientable, whose fibres are the integral curves of a Killing vector field, not necessarily unitary. The first part of this paper deals with the classification of all Killing submersions in terms of two geometric functions, namely the bundle curvature and the length of the Killing vector field, which can be prescribed arbitrarily. In a second part, we show that if the base is compact and the submersion admits a global section, then it also admits a global minimal section. These turn out to be the only global sections with constant mean curvature, which solves the Bernstein problem in Killing submersions over compact base surfaces, as well as the Plateau problem with empty boundary. Finally, we prove that any compact orientable stable surface with constant mean curvature immersed in the total space of a Killing submersion must be either an entire minimal section or everywhere tangent to the Killing direction.

Una submersión de Killing es una submersión riemanniana de una 3-variedad en una superficie, ambas conexas y orientables, cuyas fibras son las curvas integrales de un campo de Killing, no necesariamente unitario. En la primera parte de este artículo clasificamos todas las submersiones de Killing en términos de dos funciones geométricas: la curvatura del fibrado y la longitud del campo de Killing, que pueden ser prescritas arbitrariamente. En la segunda parte mostramos que si la base es compacta y la submersión admite una sección global, entonces también admite una sección global minimal. Además, tales secciones minimales son las únicas secciones globales con curvatura media constante, lo que resuelve completamente el problema de Bernstein en submersiones de Killing con base compacta, así como el problema de Plateau con frontera vacía. Finalmente, demostramos que cualquier superficie compacta y estable con curvatura media constante inmersa en el espacio total de una submersión de Killing debe ser una sección minimal global o bien un toro tangente en todo punto a la dirección del campo de Killing.

ResumenAbstract

En este artículo probamos que cualquier superficie compacta y sin borde puede ser minimalmente embebida en el producto riemanniano $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1(r)$ para todo $r>0$, excepto las no-orientables de género no-orientable impar. En otras palabras, la superficie puede embeberse minimalmente si, y sólo si, su característica de Euler es par. Ilustramos este resultado obteniendo algunas superficies minimales embebidas en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, que son periódicas en la dirección del factor $\mathbb{R}$; dichas superficies pueden verse como el análogo en este espacio de la superficie P de Schwarz en $\mathbb{R}^3$.

We prove that closed surfaces of all topological types, except for the non-orientable odd-genus ones, can be minimally embedded in the Riemannian product of a sphere and a circle of arbitrary radius. We illustrate it by obtaining some periodic minimal surfaces in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ via conjugate constructions. The resulting surfaces can be seen as the analogy to the Schwarz P-surface in these homogeneous 3-manifolds.

ResumenAbstract

En este artículo obtenemos una clasificación exhaustiva de las superficies totalmente umbilicales en los grupos de Lie simplemente conexos de dimensión 3, tanto unimodulares como no-unimodulares, provistos de cualquier métrica riemanniana invariante a izquierda. Nuestros resultados completan la clasificación de las superficies totalmente umbilicales en cualquier variedad riemanniana homogénea de dimensión 3.

We obtain an exhaustive classification of totally umbilical surfaces in unimodular and non-unimodular simply-connected 3-dimensional Lie groups endowed with arbitrary left-invariant Riemannian metrics. This completes the classification of totally umbilical surfaces in homogeneous Riemannian 3-manifolds.

ResumenAbstract

En este artículo, probamos que cualquier superficie completa con curvatura media constante en un espacio homogéneo $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ que sea transversa al campo de Killing vertical ha de ser un grafo vertical. Como consecuencia, obtenemos que los toda superficie orientable, parabólica, completa y estable con curvatura media constante $H$ inmersa en $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ (distinto de una sección horizontal en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$), es un cilindro vertical o bien un grafo sobre un dominio simplemente conexo delimitado por curvas de curvatura geodésica constante $2H$ (en cualquier caso, debe cumplirse que $4H^2+\kappa\leq 0$ para que dichas superficies existan).

We prove that any complete surface with constant mean curvature in a homogeneous space $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ which is transversal to the vertical Killing vector field is, in fact, a vertical graph. As a consequence we get that any orientable, parabolic, complete, immersed surface with constant mean curvature $H$ in $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ (different from a horizontal slice in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$) is either a vertical cylinder or a vertical graph (in both cases, it must be $4H^2+\kappa\leq 0$).

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En este artículo, construimos superficies de curvatura media constante en los espacios producto $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ usando construcciones conjugadas de Plateau adecuadas. Las superficies resultantes son completas, tienen altura acotada y son invariantes por un grupo discreto de traslaciones horizontales. En $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ (para cualquier $H>0$) o $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ (para $H>1/2$), obtenemos una familia 1-paramétrica de superficies de tipo unduloide, y demostramos que algunas de ellas son compactas en $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$. Finalmente, en el caso de $H=1/2$ en $\mathbb{H}^2 \times\mathbb{R}$, los ejemplos construidos tienen las simetrías de una teselación de $\mathbb{H}^2$ por polígonos regulares.

We construct non-zero constant mean curvature $H$ surfaces in the product spaces $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ by using suitable conjugate Plateau constructions. The resulting surfaces are complete, have bounded height and are invariant under a discrete group of horizontal translations. In $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ (for any $H>0$) or $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ (for $H>1/2$), a 1-parameter family of unduloid-type surfaces is obtained, some of which are shown to be compact in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$. Finally, in the case of $H=1/2$ in $\mathbb{H}^2 \times\mathbb{R}$, the constructed examples have the symmetries of a tessellation of $\mathbb{H}^2$ by regular polygons.

ResumenAbstract

Una submersión de Killing es una submersión riemanniana de una 3-variedad orientable sobre una superficie orientable cuyas fibras son las curvas integrales de un campo de Killing unitario en la 3-variedad. Clasificamos todas las supersiones de Killing sobre superficies riemannianas simplemente conexas y damos modelos explícitos para muchas submersiones de Killing incluyendo aquéllas sobre superficies simplemente conexas con curvatura de Gauss constante. También ofrecemos una descripción completa de las isometrías del espacio total que preservan la dirección vertical. Como consecuencia, probamos que las únicas 3-variedades homogéneas que admiten una estructura de submersión de Killing son los espacios $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$ y cocientes suyos, cuyo grupo de isometrías tiene dimensión al menos 4.

A Killing submersion is a Riemannian submersion from an orientable 3-manifold to an orientable surface whose fibers are the integral curves of a unit Killing vector field in the 3-manifold. We classify all Killing submersions over simply-connected Riemannian surfaces and give explicit models for many Killing submersions including those over simply-connected constant Gaussian curvature surfaces. We also fully describe the isometries of the total space preserving the vertical direction. As a consequence, we prove that the only simply-connected homogeneous 3-manifolds which admit a structure of Killing submersion are the $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$-spaces, whose isometry group has dimension at least 4.

ResumenAbstract

En este artículo hablaremos de algunas estimaciones óptimas para grafos de curvatura media constante en 3-variedades producto $M\times\mathbb{R}$ cuyas fronteras estén contenidas en un slice. Comenzaremos dando cotas inferiores para la curvatura geodésica y dichas cotas serán mejoradas suponiendo restricciones adicionales en la altura máxima que el grafo alcance en $M\times\mathbb{R}$. También daremos una cota inferior para la distancia de un punto interior a la frontera en términos de la altura de dicho punto y caracterizaremos cuándo todas estas cotas se alcanzan.

We will discuss some sharp estimates for CMC graphs in a Riemannian 3-manifold $M\times\mathbb{R}$ whose boundary is contained in a slice. We will start by giving sharp lower bounds for the geodesic curvature of the boundary and improve these bounds when assuming additional restrictions on the maximum height that such a surface reaches in $M\times\mathbb{R}$. We will also give a lower bound for the distance from an interior point to the boundary in terms of the height at that point, and characterize when these bounds are attained.

Erratum

En el corolario 3.5, la hipótesis debería ser $0\lt H\leq \sqrt{c}/2$ en lugar de $0\lt H\lt \sqrt{c}/2$.

The hypothesis in corollary 3.5 should be $0\lt H\leq \sqrt{c}/2$ instead of $0\lt H\lt \sqrt{c}/2$

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En este artículo probamos que si $u$ es una función diferenciable acotada en el núcleo de un operador de Schrödinger no-negativo $-L=-(\Delta+q)$ en una variedad riemanniana parabólica $M$, entonces $u$ es idénticamente cero o bien no se anula en ningún punto de $M$, y el espacio de tales funciones tiene dimensión 1. Obtenemos consecuencias para superficies orientables, completas y estables con curvatura media constante $H\in\mathbb{R}$ en espacios homogéneos con grupo de isometrías de dimensión 4. Por ejemplo, si $M$ es una superficie inmersa orientable, parabólica y completa con curvatura media constante $H$ en $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, entonces $|H|\leq\frac{1}{2}$ y, si la igualdad se alcanza, entonces $M$ es un grafo entero o un horocilindro vertical.

We prove that if $u$ is a bounded smooth function in the kernel of a nonnegative Schrödinger operator $-L=-(\Delta+q)$ on a parabolic Riemannian manifold $M$, then $u$ is either identically zero or it has no zeros on $M$, and the linear space of such functions is 1-dimensional. We obtain consequences for orientable, complete stable surfaces with constant mean curvature $H\in\mathbb{R}$ in homogeneous spaces with 4-dimensional isometry group. For instance, if $M$ is an orientable, parabolic, complete immersed surface with constant mean curvature $H$ in $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, then $|H|\leq\frac{1}{2}$ and if equality holds, then $M$ is either an entire graph or a vertical horocylinder.

Erratum

El teorema 3 contiene un error que se corrige en Height and area estimates for constant mean curvature graphs in $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$-spaces. El enunciado correcto es el siguiente:

Sea $M\subset\mathrm{Nil}_3$ un multigrafo horizontal completo y minimal. Si $M$ es parabólico, entonces es un plano vertical o uno de los ejemplos invariantes de Figueroa-Mercuri-Pedrosa.

Theorem 3 contains a mistake which is corrected in Height and area estimates for constant mean curvature graphs in $\mathbb{E}(\kappa,\tau)$-spaces. The corrected statement is the following:

Let $M\subset\mathrm{Nil}_3$ be a complete minimal horizontal multigraph. If $M$ is parabolic, then it is either a vertical plane, or one of Figueroa, Mercuri and Pedrosa's invariant minimal surfaces.

ResumenAbstract

Este artículo de recopilación está dedicado a investigar, desde un punto de vista puramente geométrico, la conjugación isométrica de Daniel para superficies mínimas y de curvatura media constante inmersas en espacios homogéneos riemannianos 3-dimensionales con grupo de isometrías de dimensión 4. Por un lado, recopilamos los resultados y estrategias usados por distintos autores hasta la fecha para tratar el análisis de superficies conjugadas y su embebimiento. Por otro lado, repasamos algunas construcciones de superficies de curvatura media constante en los espacios homogéneos producto $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^3$ exhibiendo diferentes topologías y prestamos especial atención a las propiedades geométricas que dependen del valor de la curvatura media. Finalmente, también aportamos algunas representaciones numéricas usando el programa Surface Evolver.

This survey paper investigates, from a purely geometric point of view, Daniel's isometric conjugation between minimal and constant mean curvature surfaces immersed in homogeneous Riemannian three-manifolds with isometry group of dimension four. On the one hand, we collect the results and strategies in the literature that have been developed so far to deal with the analysis of conjugate surfaces and their embeddedness. On the other hand, we revisit some constructions of constant mean curvature surfaces in the homogeneous product spaces $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ and $\mathbb{R}^3$ having different topologies and geometric properties depending on the value of the mean curvature. Finally, we also provide some numerical pictures using Surface Evolver.

ResumenAbstract

El objetivo principal de este trabajo es recopilar algunos resultados relacionados con la dualidad de tipo Calabi (descubierta por Hojoo Lee) entre ciertas familias de grafos espaciales con curvatura media constante en 3-variedades homogéneas riemannianas y lorentzianas con grupo de isometrías de dimensión 4. La dualidad es conforme e intercambia la curvatura media y la curvatura del fibrado, y aquí expondremos una versión más general de la misma en términos de inmersiones conformes. Este punto de vista pondrá de manifiesto que muchas de las propiedades de la teoría de superficies de curvatura media 1/2 en $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ o de superficies mínimas en el espacio de Heisenberg tienen interpretaciones duales relevantes, pues se corresponden con superficies en espacios lorentzianos de curvatura seccional constante. Discutiremos brevemente algunas aplicaciones tales como estimaciones del gradiente de grafos minimales enteros en el espacio de Heisenberg o la existencia de superficies espaciales completas. También daremos un tratamiento uniforme al comportamiento de la dualidad frente a isometrías de los espacios ambiente.

The main aim of this survey paper is to gather together some results concerning the Calabi type duality discovered by Hojoo Lee between certain families of (spacelike) graphs with constant mean curvature in Riemannian and Lorentzian homogeneous 3-manifolds with isometry group of dimension 4. The duality is conformal and swaps mean curvature and bundle curvature, and we will revisit it by giving a more general statement in terms of conformal immersions. This will show that some features in the theory of surfaces with mean curvature 1/2 in $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ or minimal surfaces in the Heisenberg space have nice geometric interpretations in terms of their dual Lorentzian counterparts. We will briefly discuss some applications such as gradient estimates for entire minimal graphs in Heisenberg space or the existence of complete spacelike surfaces, and we will also give an uniform treatment to the behavior of the duality with respect to ambient isometries. Finally, some open questions are posed in the last section.

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El presente trabajo es una recopilación de resultados de clasificación de superficies de curvatura media paralela inmersas en ciertas 4-variedades homogéneas riemannianas, incluyendo los espacios forma reales y complejos, así como las variedades producto. Ofrecemos un marco de trabajo común para este problema, con especial interés en la definición de diferenciales cuadráticas holomorfas y el caso particular de la clasificación de esferas de curvatura media paralela. Se recogen, asimismo, los avances más recientes en la teoría y algunos de los problemas abiertos más importantes.

We survey different classification results for surfaces with parallel mean curvature immersed into some Riemannian homogeneous four-manifolds, including real and complex space forms and product spaces. We provide a common framework for this problem, with special attention to the existence of holomorphic quadratic differentials on such surfaces. The case of spheres with parallel mean curvature is also explained in detail, as well as the state-of-the-art advances in the general problem.

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In this survey paper we address the Björling problem for various classes of surfaces associated to the Euler–Lagrange equation of the Helfrich elastic energy subject to volume and area constraints.

En este trabajo de recopilación tratamos en el problema de Björling para varias clases de surfaces asociadas a la ecuación de Euler-Lagrange de la energía elástica de Helfric sujeto a restricciones sobre el área y el volumen.

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