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Página personal de Miguel Ángel García Muñoz |
Diplomatura de Estadística
La asignatura Álgebra I, está encuadrada dentro del plan de estudios de la Diplomatura en Estadística, plan del año 1995. Esta asignatura es una materia troncal que consta de 6 créditos (60 horas) que se dividen en 3 créditos de teoría y 3 créditos de prácticas. Los créditos de prácticas a su vez se dividen en 1.5 créditos dedicados a la resolución de ejercicios en pizarra y 1.5 créditos dedicados a prácticas con el ordenador.
Programa Objetivos Bibliografía Prácticas Evaluación
TEMA 1. Estructuras algebraicas.
Conjuntos. Grupos. Anillos. Cuerpos. Álgebra de Boole.
TEMA 2. Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes.
Método de Gauss-Jordan. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Forma normal de Hermite. Rango de una matriz. Teorema de Rouché-Frobenius. Matrices elementales. Matrices inversas. Determinantes. Matrices regulares y determinantes. Rango y determinantes. Sistemas de ecuaciones y determinantes. Regla de Cramer.
TEMA 3. Espacios vectoriales.
Concepto de espacio vectorial. Subespacio vectorial. Dependencia e independencia lineal. Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial. Espacio vectorial cociente.
TEMA 4. Espacio vectorial euclídeo.
Producto escalar. Espacio vectorial euclídeo. Ortogonalidad. Producto vectorial y producto mixto.
TEMA 5. Espacio afín y afín euclídeo.
Espacio afín. Sistemas de referencia. Subespacio afín. Ecuaciones. Problemas geométricos en el espacio afín. Espacio afín euclídeo. Problemas geométricos en el espacio afín euclídeo.
Respecto al desarrollo teórico de la asignatura, para muchos de vosotros, el Álgebra es el primer curso en el que se presenta la Matemática Abstracta. En general, el alumno encuentra la asignatura demasiado abstracta, pues se pierde con los cálculos sin llegar a entender bien los conceptos que se tratan. Sin embargo para la comprensión de la asignatura es imprescindible el entender los conceptos que se tratan, antes incluso que aprender los pasos para realizar aquellos ejercicios que parece mas importantes.
Así pues, en este curso, no solo vamos a aprender métodos que nos ayuden a resolver ciertos problemas mediante cálculos numéricos sino que vamos a entender los conceptos y a partir de esto razonaremos en cada caso que calculo debemos hacer. De esta forma, vamos a distinguir la técnica de la teoría. Todas las técnicas se describirán con detalle y haremos ejemplos que ilustren su uso. A lo largo del curso demostraremos todos los teoremas que solo requieran los resultados dados y nos dejaremos las demostraciones mas complejas, las cuales se podrán seguir con las referencias que se darán.
· El objetivo principal del curso es que el alumno obtenga la habilidad algebraica necesaria para resolver los problemas del Álgebra lineal que se le presente al estudiar problemas relativas al área de estadística.
· El segundo objetivo es convencer al alumno de la importancia del álgebra lineal en el estudio de la Estadística, con este fin en mente, se intentará poner ejemplos y ejercicios acordes con esta área de conocimiento.
· Conseguir que las clases se aprovechen para aprender y no solo se dedique este tiempo a copiar apuntes sin saber que se está copiando, ya que debido a la abundancia de asignaturas y de las prácticas en los nuevos planes, el tiempo de estudio del alumno queda reducido.
· Conseguir la participación en clase de todos los alumnos, ya sea de forma colectiva, resolviendo problemas propuestos, o individual, saliendo a la pizarra a resolver ejercicios.
· Conseguir que el alumno investigue por si solo o en grupos con lo cual aprenderá a redactar sus propios apuntes y a manejar bibliografía.
· Por último, intentar que el alumno aprecie la belleza de las Matemáticas. Para ello, con el fin estimular el interés por la asignatura dedicaremos algún tiempo a leer y comentar reseñas acerca del desarrollo histórico de los conceptos que estemos tratando en ese momento.
La experiencia nos ha enseñado que las ideas abstractas deben introducirse gradualmente y presentarse al alumno basadas en firmes fundamentos. Esto es lo que nos ha dirigido en la selección y ordenación de los temas que desarrollaremos a lo largo de este cuatrimestre:
I. En el primer tema, se hace una introducción a teoría de conjuntos y se estudia tan detalladamente como el tiempo nos lo permite las operaciones entre conjuntos, las aplicaciones, relaciones, leyes de composición y estructuras algebraicas, conceptos necesarios para abordar con garantía las materias que siguen. Se trata pues de un tema introductorio al Álgebra lineal.
II. El Álgebra lineal propiamente dicha, se inicia con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales con el fin de motivar el posterior estudio de las matrices las cuales surgen ahora de forma natural como un ordenamiento de números que representan los coeficientes del sistema de ecuaciones. Se introducirán las transformaciones elementales que posteriormente serán protagonistas tanto a la hora de resolver problemas de este tema como la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones, cálculo del rango de una matriz, cálculo de la inversa de una matriz, y de los temas posteriores como en el desarrollo teórico de la asignatura. Por último, se introducirán los determinantes con el fin de presentar una nueva forma de discutir y resolver sistemas de ecuaciones (la regla de Cramer).
III. En el tema tercero, y previa a una introducción de los vectores en el plano y el espacio daremos la definición de los espacios vectoriales de forma abstracta, aunque presentándolos como una extensión natural de las propiedades de los vectores en el plano, que es en realidad la forma en la que evolucionaron estos conceptos.
IV. En el tema cuarto, continuando con la abstracción daremos el concepto de producto escalar en un espacio vectorial genérico y a partir de este surgirá el concepto de espacio vectorial euclídeo y sus propiedades, de nuevo todas ellas se presentarán como extensión de las conocidas en el plano con el producto escalar usual.
V. Por ultimo, en el tema quinto que podemos enmarcar en la Geometría Analítica, estudiaremos con detalle el espacio afín y afín euclídeo, así como los problemas métricos en el plano y en el espacio.
TEORÍA:
ANTÓN, H. “Introducción al Álgebra Lineal”. Ed. Limusa, 1990.
BARBOLLA, R., SANZ P. “Álgebra lineal y teoría de matrices” Ed. Prentice Hall, 1998.
BURGOS ROMÁN, J. DE. “Álgebra lineal”. Ed. McGraw-Hill, 1995.
CRIADO, R. Y OTROS. “Algebra Lineal: Método, fundamentos y algoritmos”. Ed. AC.
GARCÍA GARCÍA, J., LÓPEZ PELLICER, M. “Álgebra Lineal y Geometría. Curso teórico-práctico”. Ed. Marfil, 1982.
GRANERO RODRÍGUEZ, F. “Álgebra y Geometría analítica”. Ed. McGraw-Hill, 1985.
GROSSMAN, S. “Álgebra lineal”. Ed. McGraw-Hill, 1996.
MERINO, L. Y SANTOS, E. “Álgebra lineal con métodos elementales”. Ed. Autores, 1997.
ROJO, J. “Álgebra lineal”. Ed. AC.
PROBLEMAS:
ANZOLA, M. Y OTROS. “Problemas de Álgebra: Espacios vectoriales” (tomo 3). Ed. Autores, 1981/82.
ANZOLA, M. Y OTROS. “Problemas de Álgebra: Geometría Afín y Euclídea” (tomo 6). Ed. Autores, 1981/82.
DIEGO, B., GORDILLO, E. VALEIRAS, G. “Problemas de Álgebra lineal”. Ed. Deimos.
GARCÍA GARCÍA, J., LÓPEZ PELLICER, M. “Álgebra Lineal y Geometría. Ejercicios”. Ed. Marfil.
PINILLA, J.L. “Problemas de Álgebra lineal”. Ed. Autores.
ROJO, J. y MARTÍN, I. “Ejercicios y problemas de Álgebra lineal”. Ed. McGraw-Hill, 1982.
SÁNCHEZ, R. “Ejercicios y problemas de Álgebra lineal”. ICE. Universidad de Granada.
VILLA, A. DE LA. “Problemas de Álgebra”. Ed. Glagsa, 1994.
Resolución de problemas con ordenador utilizando el Mathematica.
PRÁCTICA 1: Introducción al Mathematica.
PRÁCTICA 2: Aritmética Básica.
PRÁCTICA 3: Programación en Mathematica.
PRÁCTICA 4: Listas en Mathematica. Aplicaciones.
PRÁCTICA 5: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
PRÁCTICA 6: Vectores y Matrices. Matrices elementales.
PRÁCTICA 7: Determinantes. Matriz adjunta y matriz inversa.
PRÁCTICA 8: Bases, coordenadas y cambio de base.
PRÁCTICA 9: Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
OBJETIVOS DE LAS PRÁCTICAS
El programa Mathematica constituye una herramienta informática muy potente que facilita la práctica de las Matemáticas. No solo realiza todas las operaciones de cálculo, usuales de cualquier calculadora científica, sino que también permite trabajar con expresiones simbólicas, lo que nos permite obtener resultados generales de tipo abstracto.
Con las prácticas se pretenden diversos objetivos tales como:
· Uso de los medios de cálculo actuales.
· Mejorar la docencia permitiendo abordar cualquier problema real aunque el número de datos y la cantidad de cálculos sea muy elevada.
· Acercar los avances de la técnica al alumno saliendo de esta forma de la rutina diaria del aula y la pizarra.
· Resolver de una forma distinta los diferentes problemas que en su día se han resuelto en clase y corregir de una forma rápida los que ha sido propuestos.
BIBLIOGRAFÍA
BLACHMAN, N. "Mathematica". Ed. Addison-Wesley, 1992.
BLACHMAN, N. "Mathematica. Un enfoque práctico". Ariel Informática, 1993.
DOMINGUEZ PEREZ, J.A. Y OTROS, “Algebra lineal. Planteamiento y resolución de problemas con Mathematica”. Ed. Plaza Universitaria, Salamanca, 1995.
FERNANDEZ – FERREIROS, A. y OTROS, "Álgebra lineal. Prácticas con Mathematica". Ed. Prensas Universitarias de Zaragoza, Zaragoza, 1995.
RAMÍREZ GONZÁLEZ, V. Y OTROS "Matemáticas con Mathematica". Granada: Proyecto Sur de ediciones, 1996.
WOLFRAM, S. “Mathematica. A System for Doing Mathematics by Computer”. Addison-Wesley, 1991.
Para la calificación se tendrá en cuenta el examen final y la evaluación de las prácticas.