EJERCICIO 4

Estudiar si la siguiente integral es convergente o no:
	
	\(∫\_0\%\(+∞\)\(e\^x\/\(1 + e\^\(2  x\)\)\) dx\)

f[x] = ((e^x)/(1 + (E^(2  x))))

Intervalo :  [0, +∞)

(∫_0^(+∞))((E^x)/(1 + (E^(2  x)))) \[DifferentialD]x = (por definición) = (lim_(t -> +∞))(∫_0^t) ((E^x)/(1 + (E^(2  x)))) \[DifferentialD]x = (hacemos la integral aparte para facilitar la tarea (++)) = (lim_(t -> +∞))(Subscript[((([artg ((E^x))])^t)), 0]) = (lim_(t -> +∞))[artg ((e^t)) - 
                        artg 1] = (π/2) - (π/4) = (π/4)

Por tanto es convergente . 


(++)

∫((E^x)/(1 + (E^(2  x)))) \[DifferentialD]x = ∫((E^x)/(1 + ((((E^x)))^2))) \[DifferentialD]x = [z = (E^x); 
              dz = (E^x) \[DifferentialD]x] = ∫\[DifferentialD](z/(1 + (z^2))) = artg z = 
                artg ((E^x))

artg (+∞) = (π/2)

La gráfica de Arco tangente es: