Ejercicio 4

Estudiar si la siguiente integral es convergente o no.

\(\(\(∫\_0\%∞\( e\^x\/\(1 + e\^\(2  x\)\)\) dx\ \( = \&Definición\)\ \(\(lim\+\(t -> ∞\)\) ∫\_0\%t\( e\^x\/\(1 + e\^\(2  x\)\)\) dx = \ \(\([Calculamos\ la\ integral\ a\ parte]\) = \((A)\)\)\)\)\(
\)
    \)\)

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\(\(\(\ \ \ \)\(f \((x)\)\  = \ e\^x\/\(1 + e\^\(2  x\)\)

      Intervalo = \(\(>\)\(\ \)\([0, ∞\)\)\)\()\)\)\)

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\(\((A)\) \(∫\(e\^x\/\(1 + e\^\(2  x\)\)\) dx\) = \(∫\(e\^x\/\(1 + \((e\^x)\)\^2\)\) dx = \(\(\(|\)\(\ \)\(z\)\) = \(e\^x\ \ \ \ dz = \ \(\(\(e\^x\)\(|\)\) = \(∫\(1\/\(1 + 
                          z\^2\)\) dz = \(arctg \((z)\)\  = \ \(\(arctg \((e\^x)\)\)\(
\)
                  \)\)\)\)\)\)\)\)

\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--
\((A)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)=
=(Subscript[(((lim_(t -> ∞))[arctg ((e^x))])^t), 0]) = (lim_(t -> ∞))[arctg ((e^t))  -  arctg (1)]= \(π\/2 - π\/4 = π\/4\ Por\ tanto\ la\ integral\ es\ CONVERGENTE\)

Función de la arctg (x)