Departamento de Matemáticas
Curso 2007/08

Prácticas de Fundamentos Matemáticos para las Ciencias Ambientales.
    FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Práctica correspondiente al guión de la SESIÓN 3.

FUNCIONES DEFINIDAS EN MATHEMATICA.

■ Obtener los siguientes valores:
sen( (π/2) ), sen ( 0 ), cos ( π ), cos ( - π ), sen ( (π/4) ), tan ( (π/4) ), arccos ( -1 ),
arcsen ( -1 ), arctan ( 0 ), (Sqrt[124]) ,  (Sqrt[2]), ln ( 54.2 ), ln ( e ), lo(Subscript[g, 10]) ( 24 ).

Sin[Pi/2]

Sin[(π/2)]

Sin[2]

Sin[0]

Cos[Pi]

Cos[-Pi]

Cos[1.5]

Sin[Pi/4]

Tan[(π/4)]

ArcCos[-1]

ArcSin[-1]

ArcTan[0]

Sqrt[124]

(Sqrt[2])

Log[54.2]

Log[E]

Log[10, 24]

LA FUNCIÓN Plot.

■ Obtener la gráfica de las siguientes funciones:

La función (x^2) en el intervalo [ -5,  
          5].

Plot[(x^2), {x, -5, 5}];

La función (x^3) en el intervalo [-2,  
          2].

Plot[(x^3), {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

La función  (1/x)  en el intervalo [-3,  
          3].

Plot[(1/x),  {x, -3, 3},  
        PlotStyle -> Dashing[{0.025}]];

La función sen (x) en el intervalo [ - π, π ]

Plot[Sin[x], {x, -π, π}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            Dashing[{0.015}]}];

La función tan ( x ) en el intervalo [ -  π,  π ].

Plot[Tan[x], {x, -π, π}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 1]];

La función cos ( x ) en el intervalo [ -2 π, 2 π ].

Plot[Cos[x], {x, -2 π, 2 π}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]];

La función  (e^t)  en el intervalo [ -1.5,  
          2].

Plot[(E^t),  {t, -1.5, 2}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

La función (3^t) en el intervalo [-2,  2]

Plot[(3^t), {t, -2, 2}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]];

La función ((((1/3)))^t) en el intervalo [ -2,  
          2 ].

Plot[((((1/3)))^t), {t, -2, 2}, 
        PlotStyle -> Dashing[{0.015}]];

La funciones identidad, logaritmo neperiano y exponencial en el intervalo [ 0, 3 ].

Plot[{x, Log[x], (E^x) }, {x, 0, 3}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0],  RGBColor[0, 1, 0], 
            RGBColor[0, 0, 1]}];

Las funciones cos(x), cos(2x) y 2cos(x) en el intervalo [-π, π].

Plot[{Cos[x], Cos[2 x], 2*Cos[x]}, {x, -2 π, 2  π}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], 
            RGBColor[0, 0, 1]}];

■ Representar las funciones elementales (a^x), (Subscript[log, a]) x  para distintos valores de la base a.

Plot[{(0.2^x), (0.71^x), (E^x), (1.68^x)}, {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], 
            RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 1, 1]}];

Plot[{(0.2^x), (0.71^x)}, {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}];

Plot[{(E^x), (1.68^x)}, {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], 
            RGBColor[0, 1, 1]}];

Plot[{Log[0.2, x], Log[0.71, x]}, {x, 0, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}];

Plot[{Log[x], Log[1.68, x]}, {x, 0, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 1]}];

Plot[{Log[x], Log[1.5, x], Log[(1/E), x], 
          Log[(1/1.5), x]}, {x, 0, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], 
            RGBColor[1, 1, 0], RGBColor[0, 1, 1]}];

■ Representar de forma conjunta la gráfica de las funciones cos( x ) , sen( x ) y tg( x ) en el intervalo cerrado [ -2π , 2π ]. Utilizar para cada una de las funciones un color diferente.

Plot[{Sin[x], Cos[x], Tan[x]}, {x, -2 π,  2  π}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1], 
            RGBColor[0, 1, 1]}];

FUNCIONES DEFINIDAS POR EL USUARIO.

■ Dada la función f(x)= \(TraditionalForm\`\(tg\ \((\ x\ )\)\  + \ \@\(ln\ \((\ x\^2\  + \ 1)\)\)\%3\)\/\(x\  - \ 1\)\) calcular el valor de f(0), f(1) y f(2).

Definimos la función

f[x_] := ((Tan[x] + ((Log[x^2  + 1])^(1/3)))/(x - 1))

NOTA : Observar que al definir una función , cuando se ejecuta sólo aparece entrada , In [  ], no aparece salida . Si queremos ver cómo hemos definido nuestra función escribimos su nombre y, ejecutamos.

f[x]

f[0]

f[1]

f[2]

El programa Mathematica proporciona siempre el valor más exacto de la operación que le planteamos. Si queremos un valor numérico, recurrimos a la orden  N[ expresión ].

N[%]

■ Calcular 1/0  y tg( (π/2)).

1/0

■ Obtener la gráfica de la función f ( x ) = \(TraditionalForm\`\(2\ x\^3\  - \ x\^2\  + \ 1\)\/\(x\^3\  - \ 6\ x\^2\  + \ 11\ x\  - \ 6\)\).

Definimos la función

f[x_] := ((2 (x^3) - (x^2) + 1)/((x^3) - 6  (x^2) + 11 x - 6))

Comprobamos que hemos definido correctamente la función f ( x )

f[x]

¿Dónde nos interesa representar la función? Como es una función racional, veamos los puntos que no pertenecen a su dominio. Es decir, los valores que anulan el denominador.

Reduce[(x^3) - 6  (x^2) + 11 x - 6 == 0, x]

Plot[f[x], {x, 0, 4}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];

LA INSTRUCCIÓN  Limit

■ Obtener los límites y límites laterales de la función f( x ) = \(TraditionalForm\`\(2\ x\^3\  - \ x\^2\  + \ 1\)\/\(x\^3\  - \ 6\ x\^2\  + \ 11\ x\  - \ 6\)\) en los  puntos x=1, x=2, x=3, x=∞ y x=-∞.

Comenzamos definiendo la función

f[x_] := ((2 (x^3) - (x^2) + 1)/((x^3) - 6  (x^2) + 11 x - 6))

f[x]

Veamos qué puntos anulan el denominador pues en ellos la función racional no está definida y, presentará asíntotas verticales

Reduce[(x^3) - 6  (x^2) + 11 x - 6 == 0, x]

Estudiaremos los límites laterales de la función en estos puntos obtenidos:

En el punto x = 1

Límite de f (x ) en el punto x = 1 por la izquierda:

Limit[f[x], x -> 1, Direction -> 1]

Límite de la función f (x) en el punto x=1 por la derecha:

Limit[f[x], x -> 1, Direction -> -1]

En el punto x = 2

Limit[f[x], x -> 2, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> 2, Direction -> -1]

En el punto x = 3.

Limit[f[x], x -> 3, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> 3, Direction -> -1]

En el punto x = 5.

Limit[f[x], x -> 5]

f[5]

En este punto coinciden el valor del límite con el de la función. En este punto la función es continua.

Cuando x tiende a ∞

Limit[f[x], x -> ∞]

La función tiene asíntota horizontal por la derecha en la recta y = 2

Limit[f[x], x -> -∞]

La función tiene asíntota horizontal por la izquierda en la recta y = 2.

Plot[{f[x], 2}, {x, -2, 6}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}];

■ Aplíquese el Teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación  105 (x^3)  +  4651 (x^2)  - 99989 x + 32809  =  
        0 tiene al menos tres raíces reales .

Teorema de Bolzano: "Sea f una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a , b] que cumple f( a )f( b ) < 0 ⇒ existe al menos un valor c ∈ [a, b ] tal que f( c ) = 0".

f(x) es una función continua en todo ℝ. Busquemos intervalos donde haya cambio de signo para aplicar T. Bolzano.

f[x_] := 105 (x^3) +  4651 (x^2) - 99989 x +  32809

f[x]

Plot[{f[x], 0}, {x, -10, 10}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 1]];

Ampliamos el intervalo por la derecha

Plot[{f[x], 0}, {x, -1, 20}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 1]];

Parece que una raíz esté entre el 0 y el 1,  y otra entre el 15 y el 16. Vamos a evaluar la función en puntos próximos para buscar el intervalo dónde aplicar el Teorema de Bolzano.

f[0]

f[0.1]

f[0.2]

f[0.3]

f[0.4]

f[0.35]

f[0.33]

f[0.34]

f[0.5]

En el intervalo [0.33,0.34] hay una raiz de la ecuación f(x) = 0.

f[20]

f[19]

f[16]

f[15]

f[15.5]

f[15.8]

En el intervalo [ 15.5, 15.8] hay una raíz de la ecuación f(x) = 0.

Pero la ecuación f ( x ) = 0 es de grado tres. ¿Habrá alguna raiz real más? Recordemos la gráfica.

Plot[{f[x], 0}, {x, -1, 20}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 1]];

Estudiemos algunos límites de la función que nos puedan dar información.

Limit[f[x], x -> Infinity]

Limit[f[x], x -> -Infinity]

Hay que "investigar" por la izquierda del cero.

Plot[{f[x], 0}, {x, -70, 1}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 1]];

f[-50]

f[-60]

f[-70]

f[-60.5]

En el intervalo [-60.5 ,-60 ] hay cambio de signo, por tanto al menos hay una raíz de la ecuación f(x) = 0.

■ Calcular los siguientes límites

Limit[(((1 + (1/x)))^x),  x -> ∞]

Limit[(((1 + (a/x)))^(b x)), x -> ∞]

Limit[(((0.5))^x), x -> ∞]

Asíntota horizontal por la derecha en la recta y = 0

Limit[(((0.5))^x), x -> -∞]

Repasemos la gráfica:

Plot[(0.5^x), {x, -5, 10}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];

Limit[(((1.5))^x), x -> ∞]

Limit[(((1.5))^x), x -> -∞]

Asíntota horizontal por la izquierda en la recta y = 0

Plot[(1.5^x), {x, -6, 6}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Limit[Log[0.7, x], x -> ∞]

Limit[Log[0.7, x], x -> 0]

Plot[Log[0.7, x], {x, 0, 8}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]];

Limit[Log[1.7, x], x -> ∞]

Limit[Log[1.7, x], x -> 0]

Plot[Log[1.7, x], {x, 0, 8}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];

■ Calcular los límites del sen( x ) y cos( x ) en  ± ∞.

Limit[Cos[x], x -> ∞]

Limit[Cos[x], x -> -∞]

Limit[Sin[x], x -> ∞]

Limit[Sin[x], x -> -∞]

■ Representar la función f( x ) = sen ((1/x) ) en el intervalo [0,0.5]. Calcular \(TraditionalForm\`lim\+\(x -> \ \(0\^+\)\)\) f(x).

Plot[Sin[(1/x)], {x, 0, 0.5}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 1]];

Limit[Sin[(1/x)], x -> 0, Direction -> -1]

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

■ Obténgase la gráfica de la siguiente función

f(x) = (({{(((x^5) - 1)/((x^2) + 1)), x < -1}, {cos(x), -1 ≤ x < 0}, {(e^x), 0 ≤ x < 1}, {(x^((1/(x  -  1)))), x > 1}})

f[x_] := 
      Which[x < -1, (((x^5) - 1)/((x^2) + 1)), -1 ≤ x < 
          0, Cos[x], 0 ≤ x < 1, (E^x), 1 < x, 
        (x^((1/(x  -  1))))]

f[x]

f[-2]

f[-0.5]

f[0.5]

f[2]

Veamos su gráfica:

Plot[f[x], {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Calcular los límites laterales de la función en los puntos x = -1, x = 0, x = 1.

Limit[f[x], x -> -1, Direction -> -1]

N[%]

Limit[f[x], x -> -1, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> 0, Direction -> -1]

Limit[f[x], x -> 0, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> 1, Direction -> -1]

N[%]

Limit[f[x], x -> 1, Direction -> 1]

■ Representar gráficamente la siguiente función:

f ( x ) = ({{\(\(\((\(x\^4 + \ 1\)\/\(3\ x\^2\  + \ x\))\)\^\(2\/x\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ si\ \ x\)\(\ \)\(<\)\(\ \)\(0\)\(\ \)\)}, {\(e\^\(x\  - \ 6\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ si\ 0\  ≤ \ x\  ≤ \ 6\)}, {\(x\  - \ 
                      5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ si\ x\  > \ 6\)}})

f[x_] := 
      Which[x < 
          0, ((((((x^4)  +  1)/(3 (x^2)  +  x))))^((2/x)))  ,  
        0 ≤ x ≤ 6, (E^(x  - 6)),  
        x > 6,  x - 5]

f[x]

f[-1]

f[0]

N[%]

f[6.5]

Plot[f[x], {x, -3, 7}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

INTERPOLACIÓN

■ Calcular el polinomio que interpola los siguientes datos:  ( 1 , 1 ) , ( 3 , 0 ) , ( 5 , -1 ) , ( 6 , 1 ) , ( 9 , 0 ) , ( 12, -1 ).

InterpolatingPolynomial[{{1, 1}, {3, 0}, {5, -1}, {6, 1}, {9, 
          0}, {12, -1}}, x]

Agrupamos los términos del polinomio en potencias de x

Collect[%, {x, x^2, x^3, x^4}]

definimos como p(x)  al polinomio obtenido

p[x_] := -(1043/88) + ((71231 x)/3168) - ((8433 (x^2))/704) + ((146909 (x^3))/57024) - ((4517 (x^4))/19008) + ((445 (x^5))/57024)

p[x]

Dibujamos el polinomio obtenido

polinomio = 
        Plot[p[x], {x, 1, 12}, 
          PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]];

Dibujamos los datos

puntos = 
        ListPlot[{{1, 1}, {3, 0}, {5, -1}, {6, 1}, {9, 0}, {12, -1}}, 
          PlotStyle -> {PointSize[0.02], 
              RGBColor[0, 0, 1]}];

Dibujamos la poligonal que une los puntos

poligonal = 
        ListPlot[{{1, 1}, {3, 0}, {5, -1}, {6, 1}, {9, 0}, {12, -1}}, 
          PlotJoined -> True, 
          PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Dibujamos  los datos y la poligonal

Show[{poligonal, puntos}];

Dibujamos los datos, la poligonal y el polinomio que los interpola

Show[{poligonal, puntos, polinomio}];