Departamento de Matemáticas
Curso 2007/08

Prácticas de Fundamentos Matemáticos para las Ciencias Ambientales.
DERIVACIÓN DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Práctica correspondiente al guión de la SESIÓN 4.

La derivada como velocidad.

La derivada de una función en un punto es la velocidad de variación de la función en ese punto. Veremos a continuación  modelos en los que la derivada se interpreta nuevamente como la velocidad de crecimiento de cierta magnitud representada por una función.

( 1 ) El número de bacterias de cierto cultivo está determinado por la función  P(t) = 100 (e^((t/10)))   donde  t  es el número de horas transcurridas desde el inicio del experimento.

Vamos a introducir la función P(t)

P[t_] := 100 (E^((t/10)))

P[t]

◼ Comprobar que en el instante inicial tenemos 100 bacterias.

P[0]

◼ Comprobar que pasada la primera hora tenemos  110

      bacterias

P[1]

N[%]

◼ Comprobar que pasadas las dos primeras horas tenemos 122 bacterias

P[2]

N[%]

Se trata evidentemente de una población cuyo crecimiento no está sometido a ninguna restricción y en consecuencia viene determinado por una función de tipo exponencial . 
Veamos su gráfica:

Plot[P[t], {t, 0, 10}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

La derivada de esta función representa la velocidad de crecimiento de la población P con respecto al tiempo t.

		P( t ) = número de bacterias en el tiempo t
		t = horas
		P'( t ) = (bacterias/hora)
		
Por tanto, P'(t) es la velocidad con que se incrementan el número de bacterias en el instante t medida en bacterias/hora.
	La derivada de P(t) es  P'(t) = 10 (e^((t/10)))

Calculémosla con el Mathematica

P'[t]

Otra forma:

D[P[t], t]

Entonces:
	◼ ¿Cuánto vale P'(0)? ¿Qué indica para la población de bacterias?

P'[0]

P' (0) = 10. Indica que en el momento inicial la velocidad de crecimiento era de 10 bacterias / hora. Es decir, durante la hora inicial aparecieron  aproximadamente 10 bacterias.

◼ ¿Cuánto vale P'(0)? ¿Qué indica para la población de bacterias?

P'[1]

N[%]

Al comienzo de la primera hora, la velocidad era de 11.05 bacterias/ hora. En la hora 1 aparecieron aproximadamente 11.05 bacterias.

( 2 ) La cantidad de empleados de cierta empresa viene dada en función del número de días pasados desde el comienzo del año, por la función 
		f : [ 0, 365 ]⟶ ℝ
		f(x) = 1100 - 1000 cos ( ((2  π x)/365))
		
Veamos cómo es la gráfica de esta función:

Definimos la función y la dibujamos

f[x_] := 1100 - 1000 Cos[((2 π x)/365)]

f[x]

Plot[f[x], {x, 0, 365}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];

Sabemos que la derivada de la función f es la velocidad de variación de f(x) con respecto a x. Tenemos 

		f ( x ) = número de empleados 
		x = días
		f ' ( x ) = ((empleados )/d)ía
		
Por tanto, f' ( x ) es la variación de empleados ( contratos o despidos ) por día en el día x.
Calculemos su función derivada

f'[x]

Entonces:
  ◼ Calcular f'( 50 ) e interpretar el resultado.

f'[50]

N[%]

En el día 50 la velocidad de contratación fue de 13.0536 empleados / día. Por tanto, en el día 50 se contrataron aproximadamente 13.0536 empleados.

◼ Calcular f'( 182 ) e interpretar el resultado.

f'[182]

N[%]

En el día 182 la velocidad de contratación fue de 0.148163 empleados / día. Por tanto, el día 182 se contrataron aproximadamente 0.148163 empleados.

◼ Calcular f'( 260 ) e interpretar el resultado.

f'[260]

N[%]

En el día 260 la velocidad de contratación fue de -16.7342 empleados / día. Por tanto, el día 260 se produjeron aproximadamente 16.7342 despidos.

La gráfica de la función derivada nos permitirá tener una idea de la evolución del número de empleados contratados diariamente:

Plot[f'[x], {x, 0, 365}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Observemos que :
	● Durante los primeros 182 días, la función derivada f' (x) que mide las contrataciones diarias es positiva lo que implica que cada día se realizan nuevos contratos y, en consecuencia la función f (x) es creciente en ese período.
	
	●A partir del día 182 la función de contrataciones diarias es dada por f' (x) es negativa lo que implica que en ese espacio de tiempo se realizan despidos y podemos ver que en ese mismo tramo la función f (x) es decreciente.

Veamos ambas gráficas

Plot[{f[x], f'[x]}, {x, 0, 365}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}];

a = 
        Plot[f[x], {x, 0, 365}, 
          PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];

b = 
        Plot[f'[x], {x, 0, 365}, 
          PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Show[GraphicsArray[{{a}, {b}}]];

Observar ambas gráficas y contestar:

■ Donde f (x) es creciente ¿ qué le ocurre a  f '(x) ?

■ Donde f '(x) se dibuja por debajo del eje de abcisas ¿ qué le pasa a f (x) ?

■ Donde f (x) alcanza un valor máximo ¿ qué le pasa a f '(x) ?

( 3 ) Al realizar un estudio de la actividad de de un negocio es habitual estudiar lo que se denomina función de costos que mide el coste necesario para producir una cierta cantidad de unidades.
	Supongamos que en una empresa que produce componentes electrónicos se tiene la siguiente función de costos ( medida en euros ) 
	c( x ) = x + 10 Ln ( ((x  +  10)/10))
En tal caso:
	◼ ¿Cuánto cuesta producir 10 unidades?

Introducimos la función costo y la evaluamos en x = 10

c[x_] := x + 10 Log[((x + 10)/10)]

c[x]

c[10]

N[%]

Producir 10 unidades costará 16.9315 euros.

◼ ¿Cuánto cuesta producir 20 unidades?

c[20]

N[%]

Producir 20 unidades costará 30.9861 euros.

Veamos la gráfica de la función costos

Plot[c[x], {x, 0, 100}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];

Si calculamos la derivada de la función costos obtendremos la velocidad de variación del coste con respecto a la cantidad de unidades producidas:

		c( x ) = coste de producción en euros
		x = unidades
		c' ( x ) = ((coste en euros)/unidad) = (euros/unidad)
		
Es decir, c' (x) es el coste por unidad ( lo que cuesta una unidad) cuando llevamos producidas x unidades. 
Calculemos c' (x)

c'[x]

◼ Calcular la derivada en el punto x = 10 e interpretar.

c'[10]

N[%]

El coste por unidad cuando hemos producido 10 unidades es de 1.5 euros / unidad

◼ Calcular la derivada en el punto x = 20 e interpretar.

c'[20]

N[%]

El coste por unidad cuando hemos producido 20 unidades es de 1.33 euros / unidad.

La derivada c' ( x ) se denomina coste marginal. Veamos su gráfica:

Plot[{c'[x], 0}, {x, 0, 100}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Observemos que el precio por unidad cuando la producción es muy baja se aproxima a 2 euros y a medida que aumenta la producción se reduce hasta 1 euro ( podemos comprobarlo estudiando si la función coste marginal tiene asíntota horizontal por la derecha en la recta y = 1 ).  

	La situación que se describe en este ejemplo responde a un comportamiento muy habitual de los costes de producción que pueden observarse en diferentes circunstancias. Es el mismo efecto que se produce cuando en un comercio obtenemos precios mejores cuando adquirimos grandes cantidades de un producto que cuando compramos pocas unidades.

Limit[c'[x], x -> Infinity]

Plot[{c'[x], 1, 0}, {x, 0, 100}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 0, 1]}];

RESULTADOS TEÓRICOS.

Sea f: D ⟶ ℝ una función real, sea un intervalo  I = ( a, b )⊂ D y  (Subscript[x, 0]) ∈ I. Se verifica que:

i )  Si f es derivable en I se tiene que
	1.  Si f' (x) > 0 , ∀ x ∈ I ⟹ f es estrictamente creciente en I.
	2.  Si f' (x) < 0 , ∀ x ∈ I ⟹ f es estrictamente decreciente en I.
	3.  Si f' (x) = 0 , ∀ x ∈ I ⟹ f es una función constante en I.

ii)  Si f es derivable en (Subscript[x, 0]) y f tiene un máximo o un mínimo local en (Subscript[x, 0]) entonces f' ((Subscript[x, 0])) = 0.

iii)  Si f es de (C^2) en I y f' ((Subscript[x, 0])) = 0 entonces:
	1.  Si f'' ( (Subscript[x, 0]) ) > 0 ⟹ f tienen un mínimo local  en (Subscript[x, 0.]) 
	2.  Si f'' ( (Subscript[x, 0]) ) < 0 ⟹ f tienen un máximo local  en (Subscript[x, 0.])

iv)  Si f es de clase (C^2)en I entonces:
	1.  Si f'' (x) > 0, ∀x ∈ I ⟹ f es estrictamente convexa en I.
	2.  Si f'' (x) < 0, ∀x ∈ I ⟹ f es estrictamente cóncava en I.

v) Si f es de (C^2) en I y (Subscript[x, 0]) es un punto de inflexión de f entonces f'' ( (Subscript[x, 0]) ) = 0.

vi) Si f es de clase (C^3)en I y se verifica que 
	f'' ( (Subscript[x, 0]) ) = 0   y  f''' ( (Subscript[x, 0]) ) ≠ 0
entonces (Subscript[x, 0]) es un punto de inflexión de f.

CUESTIONES

● Si una función f (x ) es creciente en un intervalo I , ¿ su función derivada se dibuja por debajo del eje de abcisas en el intervalo I?

● Si una función f (x ) es convexa en un intervalo I , ¿cómo es la monotonía de su función derivada en I? 

● Si la gráfica de una función f (x)  alcanza un valor máximo en un punto (Subscript[x, 0]), ¿ qué le ocurre a la gráfica de su función derivada en el punto (Subscript[x, 0])?

● Dada una función f (x), si su derivada es decreciente en I, ¿ cómo se puede interpretar esta afirmación a la gráfica de la función f (x) ?