Departamento de Matemáticas.
Curso 2002/03.

Licenciatura en Ciencias Ambientales.
Fundamentos Matemáticos.
Prácticas con Mathematica.

Crecimiento de  poblaciones animales.

Se estudia el crecimiento de una población animal con respecto al tiempo. Para ello se aplicará el modelo de Leslie ( 1945 )que es un modelo matricial que nos proporciona la herramienta matemática necesaria para determinar cómo evoluciona una población animal.

PROBLEMA:
	Un ecologísta estudia una especie animal de la Sierra Cazorla, y está interesado en saber cúantos animales de dicha especie se prevee que haya cuando pasen 10 años.

Para el estudio de una población hay que comenzar plantendo los factores que se deben tener en cuenta para elaborar un modelo:
	* De una población animal hay que centrarse en su población femenina y en la edad de la misma. Se clasificará la población de las hembras de la especie a estudiar en distintos intervalos o clases de igual número de años T (T=5 años, por ejemplo). 
Por ejemplo:
		Clase 0: las hembras con edades comprendidas en  [ 0,T]
		Clase 1: las hembras con edades comprendidas en [T,2T ]
		Clase 2: las hembras con edades comprendidas en [ 2T,3T ]
		Clase 3: las hembras con edades comprendidas en [3T,4T]
		
	Estudiaremos la población en los distintos períodos T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T, etc.
	Supongamos que inicialmente hay (Subscript[x, 0]) hembras de la clase 0, (Subscript[y, 0]) hembras de la clase 1, (Subscript[z, 0]) hembras de la clase 2 y (Subscript[w, 0]) hembras de clase3. El cambio en el número de hembras de un período al siguiente viene determinado por dos factores:
	* La fertilidad, Número medio de hijas por hembra. La fertilidad depende de la clase a la que pertenezca la hembra ya que las hembras de poca edad (clase 0) normalmente no tendrán hijas y las edad alta tendrán pocas. Supongamos que la fertilidad para las distintas clases es la siguiente:
	({{Clase, Fertilidad}, {Clase 0, 0}, {Clase 1, 1}, {Clase 2, 1.5}, {Clase 3, 0.5}})
	* La supervivencia, Las hembras que forman una clase pasan al término de cada período a la clase siguiente exceptuando aquellas que mueren o escapan. Los porcentajes de paso de una clase a la siguiente son los siguientes:
	({{Clase, \(Porcentaje\ de\ supervivencia\ 

            \((al\ final\ de\ cada\ período\ pasan\ 
a\ la\ siguiente\ clase)\)\)}, {Clase 0, 60  %}, {Clase 1, 70  %}, {Clase 2, 50  %}, {Clase 3, 0  %}})

¿Cómo planteamos el problema?

La matriz de coeficientes de este sistema se denomina Matriz de Leslie, y en ella aparecen expresados en la primera fila los datos sobre fertilidad y, debajo de los elementos de la diagonal principal están los datos de supervivencia. El resto son ceros.

Llamamos L a la matriz de Leslie, (Subscript[P, 0]) al vector que nos indica la distribución femenina al inicio del estudio y, (Subscript[P, 1]) al vector que expresa la distribución de la población femenina cuando pasa un año. Esta notación nos permite expresar el sistema como

(Subscript[P, 1])  =  L (Subscript[P, 0])

Cuando pasen dos años, la distribución de las hembras (Subscript[P, 2]) se obtendrá como

(Subscript[P, 2])  =  L (Subscript[P, 1])  =  L (Subscript[P, 0])

Siguiento este proceso, se llegaría a que la distribución de la población de hembras cuando pasen 10 años se obtendrá mediante la expresión:

(Subscript[P, 10])  =  (L^10) (Subscript[P, 0])

Utilizaremos diagonalización de matrices para obtener (L^10)(Subscript[P, 10])(Subscript[P, 10])(Subscript[uuuP, 10])(Subscript[P, 10])(Subscript[P, 10])(Subscript[P, 10])

PREGUNTA:
	¿Qué tendría que ocurrir para que la cantidad de hembras de cada clase se mantuviese estable con el paso de los años?

APLICACIÓN DEL MODELO DE LESLIE
	 Explotación racional de  poblaciones animales.

Se estudia el crecimiento de una población animal con respecto al tiempo, con el objetivo de explotar dicha población de forma  duradera  y racional ( consiste en la separación de algunos animales de la población para su venta o sacrificio).

PROBLEMA:
	Un ganadero tiene un rebaño de ovejas que quiere explotar mediante su venta a mataderos, pero de forma que siempre tenga el mismo número de ovejas de todas las edades. El precio de las ovejas es diferente según su edad.

Para resolver este problema hay que estudiar previamente cómo es el crecimiento de una población animal. El modelo de Leslie es un modelo matricial que nos proporciona la herramienta matemática necesaria para determinar cómo evoluciona una población animal.