Departamento de Matemáticas.
Curso 2004/05.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES.

Prácticas con Mathematica.

MODELO GEOMÉTRICO Ó EXPONENCIAL.

Un problema de interés en el estudio de una especie es el de la dinámica de una población. Es decir, estudiar cómo crece o decrece una población de una especie durante un período de tiempo, qué factores intervienen y cómo se puede predecir su evolución.

	Cuando se observa una población, podemos tener datos que nos indiquen qué población hay (número de individuos) en diferentes momentos (tiempos medidos en minutos, horas, meses, años,...). ¿Cómo trabajar con estos datos? Vamos a trabajar con modelos continuos.
	  Una forma sencilla de estudiar la dinámica de una  población consiste en estudiar sólo dos factores que intervienen en su crecimiento: la tasa de natalidad (número de nacimientos en el período de tiempo) y la tasa de mortalidad  (número de de funciones en el período de tiempo). Se utiliza un modelo geométrico o exponencial, con el que expresamos que la población varía de forma proporcional al tamaño de la misma, es decir,

(dN/dt)  =  r N

En esta expresión, N(t) indica el tamaño de la población en el momento t, N'(t) = (dN/dt) representa la tasa de cambio de la población, y r es un factor que podemos despejar

r  =  (dN/dt) (1/N)

donde obtenemos que la tasa de cambio de la población está dividida por el número total de individuos. Es decir, aparece la contribución de cada individuo al crecimiento de la población. El parámetro r se denomina tasa intrínseca de crecimiento, y permanece constante  a pesar de los cambios que se produzcan en la población.
	Así pues, podemos entender que la expresión N' (t) = r N(t) indica que la tasa de cambio de una población es el producto de la contribución de cada individuo por la densidad de dicha población. En aquellas poblaciones que satisfacen esta ecuación, la expresión que determina en cada momento el tamaño de dicha población es

N( t ) = (Subscript[N, 0]) (e^(r t)), t el tiempo

donde (Subscript[N, 0]) es la población al inicio de nuestro estudio.

Por ejemplo, para una población de bacterias Escherichia coli el valor de r = 60, por lo que N(t) = (Subscript[N, 0]) \(TraditionalForm\`\(\(e\^\(60\ t\)\)\(,\)\(\ \)\(con\ t\ en\ días\)\(,\)\(\ \)\)\)tiene una gráfica de la forma: ( supongamos (Subscript[N, 0]) = 5 )

Plot[{5  (E^(60 t)), 0}, {t, 0, 2}];

En una población de insectos Tribolium confusum el valor de r  es  0.120, entonces para (Subscript[N, 0])  = 5, considerenado t en días, tenemos

Plot[{ 5  (E^(0.120  t)), 0}, {t, 0, 
          10}];

Los cambios que se producen en una población dependen del número de nacimientos ( b )  y de muertes ( m ), es decir,

(dN/dt)  =  b N  -  m N  =  ( b  -  m ) N =  
          r N

* Si  r < 0  -> N' (t) < 0 -> la población disminuye
			* Si  r > 0  -> N'(t) > 0 -> la población aumenta
			* Si r = 0  ->  N'(t) = 0 -> la población permanece constante.

Observaciones: 
		* En este modelo se supone que la tasa intrínseca de crecimiento, r ,  es constante.
		* Como las tasas de natalidad y de mortalidad no permanecen fijas, la constante de crecimiento, r, tampoco debe de serlo para períodos de tiempos grandes.
		* No se tienen en cuenta factores como la alimentación, las migraciones, el espacio disponible para la población, ...
		* Si r es positivo, este modelo predice que la población crecerá sin límite, lo que a efectos reales no es muy razonable, porque cuando sobrepasa la capacidad del medio ambiente parar sostener la población, ésta comienza a disminuir.
	Consecuencia: 
		Los modelos geométricos o exponenciales no pueden describir siempre el crecimiento de una población. No obstante,  pueden servir para realizar predicciones a corto plazo de la dinámica de una población.

( 1 ) El tamaño de cierta población de insectos se expresa mediante la función P(t) = 300 (e^(0.2 t)) , con t medido en días.
	( a ) ¿Cuántos insectos había en el momento inicial de nuestro estudio?
	( b ) ¿En qué tiempo la población será de 1200 individuos?
	( c ) ¿Cuánto tiempo tarda esta población en duplicarse?
	( d ) Estudiar la función P(t) : dominio, monotonía, extremos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión.
	( e ) Interpretar los resultados obtenidos en el apartado ( d ) en el contexto de nuestro problema.

Solución:

( a )  Comenzamos introduciendo en el programa la función P(t)

P[t_] := 300*E^(0.2*t)

P[t]

En este apartado nos piden calcular el valor de la función para un valor del tiempo de t = 0. Basta con evaluar la función en dicho punto.

P[0]

Respuesta: Inicialmente había una población de 300 insectos.

( b ) Hay que averiguar el valor de t para el cual P(t) = 1200. Al escribir esta expresión en Mathematica

P[t] == 1200

Obtenemos una ecuación donde la incógnita es t. La resolvemos mediante la orden Solve[ ecuación, incógnita]

Solve[P[t] == 1200, t]

Respuesta: Cuando pasan aproximadamente 7 días  la población de insectos es de 1200 individuos.

( c ) Si la población en el día t es P(t), queremos saber cuánto tiene que aumentar t para que la población sea el doble. Llamando a "ese aumento" h, debe ocurrir

P[t + h] == 2*P[t]

Solve[P[t + h] - 2 P[t] == 0, h]

5  Log[2. ]

Simplificando 300 (e^(0.2` (h + t))) == 
        600 (e^(0.2` t)),   (e^(0.2` (h + t))) == 
        2 (e^(0.2` t)) , (e^(0.2` h)) == 2, tomando logaritmos tenemos h=5Log[2]=3.46574... . Cada tres días y medio, aproximadamente, se duplica.

( d ) Estudiemos la función P(t)

P[t]

Dominio: P(t) es una función exponencial por una constante. Por tanto, su dominio es ℝ. Además, no se anula nunca lo que implica que su gráfica no corta al eje de abcisas en ningún punto.
Monotonía: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, hay que estudiar el signo de P'(t). En este caso, como P(t) es una función exponencial cuya constante de crecimiento es 0.2 > 0, indica que es una función creciente en todo su dominio.

P'[t]

P'(t) siempre es una función positiva en ℝ, lo que nos vuelve a confirmar que P(t) es creciente en todo su dominio.

Extremos relativos y absolutos: La función P(t) no tiene puntos críticos, porque la función exponencial, P'(t), no se anula nunca. Veamos su comportamiento cuando t toma valores "muy pequeños" y cuando los toma "muy grandes".

Limit[P[t], {t -> -∞}]

Cuando t se hace infinitamente pequeño, la función tiende a valer cero. Por tanto, P(t) tiene una asíntota horizontal por la izquierda en la recta y = 0.

Limit[P[t], {t -> Infinity}]

Cuando t se hace infinitamente grande, la función también toma valores muy grandes.

Concavidad y convexidad:  Habría que estudiar el signo de P''(t). En este caso,

P''[t]

P''(t) siempre es una función postiva en todo ℝ. Por tanto, es convexa en todo su dominio.

A continuación vamos a representar gráficamente la función P(t), y comprobaremos visualmente que los resultados analíticos son correctos. 
	
	Veamos la gráfica de P(t) en el intervalo [ -10, 10 ]

Plot[P[t], {t, -10, 10}];

( f ) En nuestro problema t tiene sentido para valores positivos y t = 0 que es el comienzo del estudio. Por tanto el dominio de P(t) es [ 0, ∞ ].
	Como la función P(t) es creciente en todo su dominio, nos indica que la población de insectos irá creciendo a medida que pasan los días. No se alcanzará ningún valor máximo (siempre será superado al pasar un día más), pero sí se alcanza un valor mínimo relativo que es mínimo absoluto en el tiempo t = 0, cuando hay una población inicial de 300 insectos. El que la función P(t) sea convexa ó lo que es lo mismo, P'(t) es creciente implica que las variaciones de un día con otro serán cada vez mayores.
	Veamos la gráfica de P(t) en el intervalo [ 0, 10 ]

Plot[P[t], {t, 0, 10}];

( 2 ) Una población de ardilla gris sigue un crecimiento exponencial con una tasa intrínseca de crecimiento r = Ln ( 1.01 ). Inicialmente tiene un tamaño de 25 individuos. Representar gráficamente su curva de crecimiento y calcular el tiempo de duplicación de esta población de ardilla gris.

Solución:

\(El\ tamaño\ de\ la\ población\ de\ ardilla\ gris\ se\ puede\ expresar\ como\ N \((t)\)\  = \ \(N\_0\) e\^\(r\ t\), \ 
    r\  = \ Ln\ \((\ 1.01\ )\), \ 
    y\ N\_0\ es\ el\ tamaño\ de\ la\ población\ inicial\)

r = Log[1.01]

n[t_] :=  25* (E^(r t))

n[t]

Plot[{0, n[t]}, {t, 0, 100}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];

Hay que calcular el valor de t,  
    tal que      n (t)  =  2 (25)

n[t] == 2*(25)

Reduce[r t == Log[2], t]

Respuesta: deben transcurrir aproximadamente 69 años para que se duplique la población

Clear[r]

( 3 ) Una población aumenta un 25%  su tamaño cada año.
	( a ) Dar una expresión que nos permita obtener el tamaño de la población en cada momento

\(Sea\ N\_t\ el\ tamaño\ de\ la\ población\ en\ el\ año\ t . 
\ 
        Al\ inicio\ tenemos\ \ \ \ N\_0\)
\(cuando\ pasa\ 1\ año\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N\_1\  = \ \(N\_0\  + \ 0.25\ N\_0\  = \ 1.25\ N\_0\)\) , 
\(cuando\ pasan\ 2\ años\ \ \ \ \ \ \ N\_2\  = \ \(N\_1 + \ 0.25\ N\_1\  = \ 
          1.25\^2\ N\_0\)\) , 
				\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(...\) \(...\)\) ... \) ... \) ... \) ... \) ... \) ... \) ... \) ... \) ... \) ... \)\(.\)\) ,
cuando pasan t-años    (Subscript[N, t]) = 1.25 (Subscript[N, t  -  1])  =  (1.25^t) (Subscript[N, 0])
Null

( b ) ¿Esta población sigue un crecimiento exponencial? En caso afirmativo, dar una expresión exponencial para el tamaño de la población.

\(Si\ n \((t)\)\  = \ \(N\_0\) e\^\(r\ t\)\ indica\ el\ tamaño\ de\ la\ población\ cuando\ han\ pasado\ t - \ 
        años, \ 
    debe\ ocurrir\ que\ ambas\ expresiones\ sean\ iguales\)

(Subscript[N, 0]) (E^(r t)) ==  (Subscript[N, 0]) 
        (1.25^t)

simplificamos y tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros

r t  =  Log[(1.25^t)] =  t Log[1.25]

entonces

r  =  Log[1.25]

Respuesta:
 n (t) =  \(\(N\_0\) \(e\^\(0.223144\ t\)\) 
        es\ la\ función\ exponencial\ que\ expresa\ el\ tamaño\ de\ la\ población\ en\ el\ tiempo\ \(\(t\)\(.\)\)\)

( 4 ) En una región se vierten 135 gramos de bario 141, lo que genera una gran contaminación sobre sus pastos. La expresión que nos indica la cantidad de bario 141 en el tiempo t, ( el tiempo medido en años) es Q(t) = (Subscript[Q, 0]) (e^(-0.0866 t)) gramos.
	( a ) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de bario 141 vertida se reduzca a la mitad?
	( b ) Hacer un estudio de esta función, e interpretarlo para el problema.

( 5 )  El tiempo de generación de una población es el tiempo en que las células individuales se duplican con una velocidad característica de cada organismo y en unas condiciones determinadas.
	La rapidez de crecimiento de una población bacteriana es directamente proporcional al número de individuos presentes, lo que determina que en cada momento el tamaño de la población bacteriana se exprese como N(t) = (Subscript[N, 0]) (e^(r t)), donde r es la tasa de crecimiento y (Subscript[N, 0]) el número de individuos en el momento inicial de nuetro estudio.
	Determinar el tiempo de generación para los siguientes tipos de poblaciones
		( a ) La bacteria  Escherichia coli, con r = 60 ((día )^(-1)).
		( b ) El protozoo Paramecium aurelia, con r = 1.24 dí(a^(-1)).

( 6 ) En el estudio de las curvas de mortalidad de bacterias en aguas naturales se utiliza el modelo propuesto por Chick ( 1908 ) conocido como ley de Chick

((N (t))/N0)  =  (e^(-4 k))

donde N(t) indica el número de bacterias en el instante t, N0 el número de bacterias en el instante inicial y k es la constante de desaparición de primer orden.
	Esta ley es ventajosa porque ha sido utilizada para la simulación de organismos entéricos en medio terrestre y acuático con éxito. También por la facilidad con que este modelo se puede adaptar a los datos de las investigaciones.
	Hacer un estudio de la función de la ley de Chick, e interpretar los resultados.

MODELO LOGÍSTICO

Al observar el crecimiento de una población, encontramos que cuando hay un fuerte aumento de la población a continuación se produce un descenso de la misma. La justificación de este fenómeno está en que cuando es excesivo el aumento de la población, las provisiones de cada individuo se ven mermadas, lo que afecta a la reproducción. De hecho, existe un tamaño máximo de la población que puede vivir bien con los recursos disponibles, este tamaño se conoce como capacidad de equilibrio o de carga, y como se vea sobrepasado la población comenzará a descender.
	Se puede construir un modelo matemático en el que la razón de crecimiento refleje la relación que existe en cada momento entre el tamaño de la población N (t) y la capacidad de carga, K . Para ello, diremos que la tasa de crecimiento depende de la densidad de la población y de la cercanía que el tamaño de la población tenga a la capacidad de equilibrio

(dN/dt) = r N(t) ( K - N(t) ),   con r una constante positiva

En esta expresión, 
	* Cuando el tamaño de la población supera la capacidad de equilibrio entonces la tasa de crecimiento será negativa, es decir, la población decrecerá cuando sobrepase el máximo de población para los recursos
	*  Cuando el tamaño de la población no ha alcanzado la capacidad de equilibrio, la tasa de crecimiento será positiva , es decir, la población continuará creciendo
	* Cuando el tamaño de la población  se acerca al valor de la capacidad de equilibrio , entonces la tasa de crecimiento valdrá 0, es decir, la población permanecerá estable.
	Cuando utilizamos un modelo logístico para estudiar la dinámica de una población, la expresión de la población será de la forma

N(t) = \(TraditionalForm\`K\/\(1\  + \ B\ e\^\(\(-\ Kr\)\ t\)\)\)= \(TraditionalForm\`\(K\ e\^Krt\)\/\(e\^Krt\  + \ B\)\),  donde B es una constante positiva.

La primera aplicación de este modelo se realizó en 1840 cuando el sociólogo belga P. Verhulst ajustó una curva de este tipo a datos de la población de Estados Unidos obtenidos entre 1790 y 1840, a partir de los cuales predijo la población para 1940 ( cometiendo un error del 1%). 
	Este modelo se suele utilizar en el estudio del crecimiento de una población de peces en un lago, el crecimiento de la mosca de la fruta en laboratorio, en ciertas reacciones enzimáticas en animales, ... . 
	Observación: Si cambia la estructura de la población debido a guerras, migraciones, epidemias, etc... entonces hay que cambiar el modelo.

Cuando la densidad de una población es alta y se agotan los recursos , sobre todo los alimentos, esto supone una demora en la recuperación de la población. Estas demoras generan fluctuaciones alrededor del nivel de equilibrio. Algunas poblaciones tiene fluctuaciones de forma regular que constituyen ciclos poblacionales.
	 Por ejemplo, la liebre americana tiene ciclos de 9 o 10 años. En este ciclo los factores que intervienen e interactúan son las liebres, sus provisiones de alimento para el invierno y los depredadores. Una población creciente de liebres reduce la capacidad de las plantas para recuperarse de la poda. Si el crecimiento de las plantas se ve mermado, entonces hay un recorte de alimentación para las liebres en el próximo invierno por lo que la población de liebres se debilitará y será presa fácil para los depredadores. Disminuye la población de liebres, se recupera el crecimiento de las plantas y, comenzamos de nuevo el ciclo. 
	En los lemings el ciclo poblacional es de 4 años.

1) Supongamos que en un lago se introducen 100 peces. Después de tres meses sabemos que hay 250 peces. Un estudio ecológico predice que le lago puede mantener a 1000 peces. 
	( a ) Encontrar una expresión que nos proporcione el número de peces que hay en el lago t-meses después de la introducción en el lago de los 100 peces.

Solución:

Denotaremos por n(t) la función que indica el número de peces que hay en el lago después de haber echado 100 peces.
      En este problema la capacidad de carga de la población de peces es K = 1000. También sabemos que para t = 0 , n(t) = 100  y que n(3) = 250.

K = 1000;

n[t_] := 
      (K/(1  + B (E^(-K r t)) ))

n[t]

n[0] == 100

Reduce[n[0] == 100, B]

B = 9;

n[t]

n[3] == 250

Solve[n[3] == 250, r] // N

r = 0.000366204

Entonces ya tenemos la expresión de n(t)

n[t]

( b ) Representar gráficamente la función n(t) para ver su comportamiento durante los primeros 2 años.

Plot[n[t], {t, 0, 24}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]];

( c ) La población de peces ¿ es siempre creciente? ¿ en algún momento cambia su ritmo de crecimiento?

n[t]

n'[t]

Solve[n'[t] == 0, t]

n'[4]

Vemos cómo la función n'(t) cuyo dominio en nuestro problema son valores de t positivos inclusive el cero, no se anula nunca, y siempre es positiva. Esto significa que la función n(t) es siempre creciente.

n''[t]

Solve[n''[t] == 0, t]

n''[4]

n''[7]

La función n''(t) se anula en el punto t=6, siendo n''(t) >0 para t<6  y n''(t) <0 para t > 6. Entonces n(t) crece con ritmo positivo para t ∈ [0,6]  y n(t) crece con ritmo negativo para t ϵ [6, ∞ ], presentando un punto de inflexión en cuando pasan 6 meses.

(d) ¿Cuál será el tamaño de la población con el paso del tiempo?

Limit[n[t], t -> Infinity]

Respuesta: La población de peces se estabilizará y, tenderá a coincidir con la capacidad de carga de 1000 individuos.

( 2 ) El tamaño de una población animal se expresa mediante la función y(t) = ((0.8 (e^(6 t)))/(1  +  
            0.4 (e^(6 t)))) cientos de individuos, con t medido en años.
	( a ) ¿Cuántos animales hay cuando pasa 1 año desde el inicio de nuestro estudio?
	( b ) ¿Cuántos años deben pasar para que la población sea de 199 individuos?
	( c ) Estudiar la función y(t), interpretando los resultados obtenidos en el contexto de nuestro problema.

Solución:

Comenzamos introduciendo la función y(t)

y[t_] := ((0.8 (E^(6 t)))/(1  +  0.4 (E^(6 t))))

y[t]

( a ) Hay que evaluar la función y(t) en el valor t = 1.

y[1]

El tamaño de la población  es aproximadamente 200 individuos cuando transcurre 1 año.

( b ) Se plantea la siguiente ecuación:

y[t] == 1.99

Solve[y [t] == 1.99, t]

Cuando transcurra aproximadamente 1 año, la población estará formada por 199 individuos.

( c )

Dominio:
	Calculamos los valores que anulan el denominador

1  +  0.4 (E^(6 t)) ==  
        0  ->   (E^(6 t))  == ((-1)/0.4)

esto no puede ocurrir para  valores reales, porque las imágenes de las  funciones exponenciales  son siempre valores positivos.
	Por tanto, el dominio de y(t) es todo ℝ. Para nuestro problema particular donde t mide el tiempo transcurrido, el dominio serán todos los números reales positivos inclusive el cero.

Monotonía:
	Estudiamos el signo de la función primera derivada y'(t)

y'[t]

Together[%]

Puntos donde se anula y'(t) : ninguno real.

Puntos donde no está definida y'(t) : ninguno real.

Evaluamos y'(t) en cualquier punto de su dominio para saber su signo

y'[2]

La función y'(t) es siempre positiva, lo que implica que la función y(t) es creciente en todo su dominio.
	Este resultado indica en el problema que el tamaño de la población va aumentando de un año para otro.

Concavidad:
	Estudiamos el signo de la función segunda derivada, y''(t)

y''[t]

Together[%]

Puntos  donde y''(t) no está definida: ninguno real.
Puntos donde y''(t) se anula :  t = 0.152715

Estudiamos el signo de y''(t) en los intervalos [ 0, 0.152715 ] y [ 0.152715, ∞ ].

y''[0.123]

y''[4]

* Para valores comprendidos en  [ 0, 0.152715 ] la función y''(t) es positiva, lo que implica que la función y'(t) es creciente, lo que implica que ahí la función y(t) es convexa.
	* Para valores comprendidos en  [ 0.152715, ∞ ] la función y''(t) es negativa, lo que implica que la función y'(t) es decreciente, lo que implica que ahí la función y(t) es cóncava.

Solve[y''[t] == 0, t]

Cuando  t =  0.152715, la función y''(t) = 0, para valores más pequeños de t la función es convexa y, para valores mayores de este t la función es cóncava. Por tanto, en el punto (  0.152715, y( 0.152715) ) = (  0.152715, 1 ) la función y(t) alcanza un punto de inflexión.

Este resultado indica para nuestro problema que cuando  y''(t) > 0 la función y '(t) es creciente. Es decir, la población va aumentando y al ser el ritmo de crecimiento creciente esto hace que cada día, semana o mes el aumento de la población sea mayor, que en el día, semana o mes anterior.
	Cuando y ''(t) < 0 la función y '(t) es decreciente. Entonces aunque la población sigue aumentando, cada día, semana o mes crecerá menos que el anterior.

y[0.06] - y[0.05] < y[0.09] - y[0.08]

y[0.152715]

y[0.3] - y[0.2] > y[0.5] - y[0.4]

Comportamiento en +∞  y -∞.

Limit[y[t], {t -> -∞}]

La curva y(t) presenta una asíntota horizontal por la izquierda en la recta y = 0.
Nota: Este resultado no interesa para nuestro problema puesto que la variable t que mide el tiempo no puede ser negativo.

Limit[y[t], {t -> +∞}]

La curva y(t) presenta una asíntota horizontal por la derecha en la recta y = 2.

Este resultado indica en nuestro problema que conforme pasa el tiempo, el tamaño de  la población tiende a ser de 200 individuos.

( * ) Representación conjunta de las curvas correspondientes a las funciones y(t), g(t) = 2 y h(t) = 0 en el intervalo [ 0, 1 ]

Plot[{y[t], 0, 2}, {t, 0, 1}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 0, 1]}];

Representación conjunta de las curvas correspondientes a las funciones y(t), g(t) = 2 y h(t) = 0 en el intervalo [0, 2]

Plot[{y[t], 0, 2}, {t, 0, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 0, 1]}];

( 3 ) Una epidemia se extiende sobre una población . La expresión que nos estima el número de personas que están infectados después de t semanas desde el inicio de la epidemia es f(t) = (500000/(1  +  2499 (e^(-0.92 t)))) .
	( a ) ¿ Cuántos infectados habrá pasadas 9 semanas? 
	( b ) Estudiar la función f(t), e interpretar los resultados para el problema.
	( c ) Representar gráficamente la función f(t) para describir la evolución de la epidemia durante las primeras 20 semanas.

f[t_]:= (500000/(1  +  2499 (E^(-0.92 t))))

f[t]

Plot[{f[t], 500000, 0}, {t, 0, 20}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 1]}];

f''[8]

f''[9]

FindRoot[f''[t] == 0, {t, 8}]

Plot[f''[t], {t, 0, 18}];

Bibliografía:

SMITH, R.L. y SMITH T.M. "Ecología" 4ª edición. Addison Wesley, 2002