Departamento de Matemáticas
Curso 2004/05

Prácticas de Fundamentos Matemáticos para las Ciencias Ambientales.
    EXPLOTACIÓN DURADERA

( 1 ) En cierta granja se explota cierto tipo de ganado. La edad máxima de la especie es de 10 años. Para su estudio se divide la población en clases de dos años de longitud. Los datos de fertilidad y supervivencia para estas clases son

({{\[Placeholder], Promedio de hijas por hembra, Tanto por uno de supervivencia a la siguiente clase}, {Clase 1, 0, 0.6}, {Clase 2, 2, 0.7}, {Clase 3, 2, 0.9}, {Clase 4, 4, 0.7}, {Clase 5, 1, \[Placeholder]}})

Inicialmente tenemos los siguientes números de hembras de cada clase

({{Clase 1, Clase 2, Clase 3, Clase 4, Clase 5}, {1000, 300, 700, 200, 100}})

Supongamos que en esta población pretendemos vender sólamente hembras de la menor edad .  ¿ Qué porcentaje debemos vender en cada período para tener una explotación óptima duradera?

Solución:

Sea  h  el número de hembras de la Clase 1 que vendemos en cada período. Nos quedaría el siguiente planteamiento ( con la misma notación )

(Subscript[x, 1])  =  
      0 (Subscript[x, 0])  +  2 (Subscript[y, 0])  +  2 (Subscript[z, 0])  +  4 (Subscript[t, 0])  +  1 (Subscript[w, 0]) -  
        h* ( 0 (Subscript[x, 0])  +  2 (Subscript[y, 0])  +  2 (Subscript[z, 0])  +  4 (Subscript[t, 0])  +  
              1 (Subscript[w, 0]) )
(Subscript[y, 1])  =  0.6 (Subscript[x, 0])
(Subscript[z, 1])  =  0.7 (Subscript[y, 0])
(Subscript[t, 1])  =  0.9 (Subscript[z, 0])
(Subscript[w, 1])  =  0.7 (Subscript[t, 0])

Si en el caso anterior la matriz de Leslie es L

L = (({{0, 2, 2, 4, 1}, {0.6, 0, 0, 0, 0}, {0, 0.7, 0, 0, 0}, {0, 0, 0.9, 0, 0}, {0, 0, 0, 0.7, 0}}));

En este caso, la matriz de transición es A = L - H L, donde H es

H=(({{h, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0}}));

A = L - H . L

MatrixForm[A]

Para que la explotación sea duradera, debe ocurrir que A tenga como valor propio dominante el 1, entonces

\(\(\(	\)\(a\_1\  + \ a\_2*b\_1 + a\_3*b\_1*b\_2 + a\_4*b\_1*b\_2*b\_3 + 
        a\_5*b\_1*b\_2*b\_3*b\_4 == 1\)\)\)

\(\(\(		\)\(a\_1 = \ 0;\)\)\)

\(\(\(		\)\(a\_2 = \ 2\ \((\ 1 - h)\);\)\)\)

\(\(\(		\)\(a\_3 = \ 2\ \((1 - h)\);\)\)\)

\(\(\(		\)\(a\_4 = \ 4 \((\ 1 - h)\);\)\)\)

\(\(\(		\)\(a\_5 = \ 1 - h;\)\)\)

\(\(\(	\)\(SUPERVIVENCIA\)\)\)

\(\(\(		\)\(b\_1 = 0.6;\)\)\)

\(\(\(		\)\(b\_2 = 0.7;\)\)\)

\(\(\(		\)\(b\_3 = 0.9;\)\)\)

\(\(\(		\)\(b\_4 = 0.7;\)\)\)

(Subscript[a, 1])  +  (Subscript[a, 2])*(Subscript[b, 1]) + (Subscript[a, 3])*(Subscript[b, 1])*(Subscript[b, 2]) + (Subscript[a, 4])*(Subscript[b, 1])*(Subscript[b, 2])*(Subscript[b, 3]) + 
        (Subscript[a, 5])*(Subscript[b, 1])*(Subscript[b, 2])*(Subscript[b, 3])*(Subscript[b, 4]) == 1

Reduce[3.8165999999999998` (1 - h) == 1, h]

Respuesta: hay que vender un 73% de las hembras menores.

( 2 ) Supongamos que queremos vender hembras sólamente de la clase 1 y de la clase 2, de forma que vendamos el doble de la segunda clase que de la primera. ¿qué porcentajes conducirán ahora a una explotación duradera?

Solución:

h1 = h;

h2 = 2 h;