6. Lógica proposicional: Tautologías, contradicciones, formas normales, equivalencias e implicaciones lógicas y argumentaciones

Ejercicios de autoevaluación

Ejercicio 1.

Comprobar si las siguiente formas enunciativas son tautologías o contradicciones:	
	a) (∼x\(TraditionalForm\`\_1\)) -> (x\(TraditionalForm\`\_1\) ⋁x\(TraditionalForm\`\_2\)).
	b) (p ⋀ (∼p))-> (q↔r).
	c) ∼((x\(TraditionalForm\`\(\(\_1\)\(⋀\)\)\)x\(TraditionalForm\`\_2\)) -> (x\(TraditionalForm\`\_1\) ⋁x\(TraditionalForm\`\_2\))).
	d) (x\(TraditionalForm\`\(\(\_1\)\(\ \)\(↓\)\(\ \)\)\)x\(TraditionalForm\`\_3\)) ↔ (x\(TraditionalForm\`\_4\) ↑ x\(TraditionalForm\`\_2\)).

Solución:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 2.

Para aquellas formas enunciativas del ejercicio anterior que no son ni tautología, ni contradicción, calcular sus formas normales:

Solución:

a)

d)

Ejercicio 3.

Estudia si las siguientes formas enunciativas son equivalencias lógicas o una implica lógicamente a la otra:	
a) (p ⋁ q) ⋀ q;   q.
b) p -> (q ⋁r);  (q ⋁r) ↔ p
c) (((~p) ⋁ (~q)) → (~r));    (r → (q ∧ p)).

Solución:

a)

Por tanto, son lógicamente equivalentes

b)

Por tanto, no son lógicamente equivalentes.

Es decir, (p -> (q ⋁r)) no implica lógicamente a ((q ⋁r) ↔ p).

Sin embargo, ((q ⋁r) ↔ p) si implica lógicamente a (p -> (q ⋁r)).

c)

Por tanto, son lógicamente equivalentes.

Ejercicio 4.

Comprobar la validez o invalidez de las siguientes argumentaciones:	
(a) ((p ⋀ q ⋀ r) ⋁ (q ⋀ s)) → a, q ⋀ (~r), s; ∴a.
(b) Si f es continua, entonces que f es diferenciable implica que f es integrable. f es diferenciable. Por tanto, f es continua implica que f es integrable.
(c) Si U es un subespacio de V, entonces U es subconjunto de V y contiene al vector cero. U es un subconjunto de V y es cerrado, entonces U contiene al vector cero. Así pues, U es cerrado entonces es un subespacio de V.

Solución:

(a)

Por tanto, la forma argumentativa no es válida.

(b)

Esta argumentación tiene una forma argumentativa válida.

(c)

Esta argumentación no es válida.